精品解析：江苏省南京市雨花台区等5地2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度第一学期期中学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1、本试卷共6页、全卷满分120分、考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2、请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3、答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置．在其他位置答题一律无效． 4、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为 ，圆心O到直线l的距离为 ，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 5. 如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若 ，，则 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 6. 如图，在 的内接四边形中，若 的半径为1，，，则的度数为（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 一组数据3，5，8，的极差是______． 8. 某校九年级甲班 40 名学生中,5 人 13 岁,30 人 14 岁,5 人 15 岁.则这个班级学生的平均年龄是___________. 9. 已知扇形的圆心角为 ，半径是 ，则扇形的面积为______． 10. 写出一个两根分别为 和的一元二次方程：______． 11. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 12. 已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是__________ 13. 如图，点、在上，点不与、重合，，则 的度数是__________． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为______． 15. 已知 是关于x的方程 （a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 16. 如图，的半径是2，是的弦，点C在外，连接．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） ； （2）． 18. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为P． （1）点P的坐标为______， 的半径为______． （2）若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为______． 19. 如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？ 20. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 21. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如下表： 命中环数 5 6 7 8 9 10 甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1 乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0 （1）补充完成下面的统计表： 平均分 方差 中位数 优秀率 甲 7 ______ 6.5 20% 乙 ______ 1.2 ______ 10% （2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由． 22. 如图，在的内接四边形中， ，． 求证：四边形是矩形． 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 24. 已知是的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦，使 ； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使 ，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 25. 定义：如果关于x的一元二次方程 （，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；② ；③ （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 26. 如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． （1）若 ，求证：是的切线； （2）若E是的中点，且， ，求的长． 27. 【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则 和 都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含 的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5， ．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1、本试卷共6页、全卷满分120分、考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2、请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3、答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置．在其他位置答题一律无效． 4、作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）进行判断． 【详解】解： A．是一元一次方程，最高次数为1； B．是一元二次方程，只有一个未知数且最高次数为2； C．是二元一次方程，含有两个未知数； D．是分式方程，不是整式方程； ∴ 只有B选项是一元二次方程． 故选：B． 2. 已知的半径为 ，圆心O到直线l的距离为 ，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为 ，圆心O到直线l的距离d，为 ， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式 来判断即可，当 时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得： ， 故选：B． 4. 若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差，数据1，3，5，7，9中，每2个数相差2，一组数据2，4，6，8，x前4个数据也是相差2，若或时，两组数据方差相等，故先求出1，3，5，7，9这一组数据的平均数和方差，再根据题意代入另一组数据，求出平均数以及方差看是否满足题意即可． 【详解】解： 1，3，5，7，9这一组数据的平均数为：， 方差为：， ∵2，4，6，8，x这一组数据的方差比另一组数据1，3，5，7，9的方差大， 则有 当时，2，4，6，8，x这一组数据的平均数为：， 满足题意， 故选：A 5. 如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若 ，，则 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得 ，然后利用 证明，从而可得，再在 中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴ ， ∵， ， ， ∴， ∴， ， 在 中， ，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 6. 如图，在 的内接四边形中，若 的半径为1，，，则的度数为（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，圆的基础知识等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．先判定 是等边三角形得到，判定是等腰直角三角形得到，，从而得到，再根据等边对等角求得，继而得解． 【详解】解：连接 、 、、 ， 则， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 一组数据3，5，8，的极差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查极差，掌握极差的定义是关键．先找出最大和最小的数，再算极差即可． 【详解】解：， 这组数据的极差是， 故答案为：． 8. 某校九年级甲班 40 名学生中,5 人 13 岁,30 人 14 岁,5 人 15 岁.则这个班级学生的平均年龄是___________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法是求出该班所有人数的总岁数，然后除以总学生数即可． 【详解】解：根据题意得： (岁)， 故答案为14. 【点睛】考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键. 9. 已知扇形的圆心角为 ，半径是 ，则扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数）是解题的关键． 已知扇形的圆心角，半径，代入公式（是扇形圆心角的度数）计算即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为 ，半径是 ， ∴扇形的面积为， 故答案为： ． 10. 写出一个两根分别为 和的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一）  【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，运用因式分解法得到进行判定即可，掌握一元二次方程的解，因式分解法求一元二次方程的根的方法是解题的关键． 【详解】解：两根分别为 和的一元二次方程， ∴设该一元二次方程为， 当时，，即， 故答案为：（答案不唯一） ． 11. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 12. 已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案． 【详解】解：连接、，作 于， 等边三角形的边长是2， ， 等边三角形的面积是， 正六边形的面积是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 13. 如图，点、在上，点不与、重合，，则 的度数是__________． 【答案】 ##35度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，先根据垂径定理可得 ，，然后在 中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴ ， ∴， 设的半径为r，则 在 中，由勾股定理得：， ∴，解得：． ∴的半径为． 15. 已知 是关于x的方程 （a，b，c是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的两一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 16. 如图，的半径是2，是的弦，点C在外，连接．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】当与交于点D时，连接，过点O作 于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明 是等边三角形，得到，则E是的中点， ，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为；，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作 于E，连接，根据圆内接四边形对角互补求出，则，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当与交于点D时，连接，过点O作 于E，连接， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴E是的中点， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为； 如图所示，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作 于E，连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则； 综上所述，得到最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为P． （1）点P的坐标为______， 的半径为______． （2）若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和垂径定理的推论，分别作与的垂直平分线，两直线的交点P即为该圆弧所在圆的圆心，结合图形即可得出点P坐标； （2）根据圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，利用弧长公式结合周长求解，即可解题． 【小问1详解】 解：作与的中垂线交于点，且的中垂线交于点， 由图知，点P的坐标为， ，， ， 的半径为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：扇形 如下图所示： 由网格特点可知， ， 该圆锥的底面圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理、垂径定理的推论、圆锥的计算、弧长公式、坐标与图形，能求出点P坐标和是解答的关键． 19. 如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设窗户的宽为，则高为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设窗户的宽为，则高为， 由题意得，， 整理得， 解得或 ， 当时，， 当 时， ∴窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为． 20. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系求解，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，再结合题意列式求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：， 即有， 不论m取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即或， 解得，， ，且该方程的两个实数根的差为3， ， 解得． 故答案为：． 21. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如下表： 命中环数 5 6 7 8 9 10 甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1 乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0 （1）补充完成下面的统计表： 平均分 方差 中位数 优秀率 甲 7 ______ 6.5 20% 乙 ______ 1.2 ______ 10% （2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由． 【答案】（1）2.2，7，7 （2） 从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，水平相当； 从集中趋势看，乙的中位数比甲大，乙的成绩比甲的好些；从稳定性看，，所以乙的成绩比甲稳定． 【解析】 【分析】此题主要考查了学生对方差、平均数、中位数的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据方差、平均数、中位数的定义分别求出； （2）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【小问1详解】 解：甲的方差为： ， 乙学生的平均数为： （环）； ∵中间两个数为7，故中位数为7； 故答案为：2.2，7，7． 【小问2详解】 略 22. 如图，在的内接四边形中， ，． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵ ，， ∴四边形是平行四边形，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每涨价1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利10000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 【答案】当每件的售价为50元了，该商店销售了这种商品500件；当每件的售价为80元了，该商店销售了这种商品200件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件商品涨价x元，则每件商品盈利元，销售量为件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件商品涨价x元，则每件商品盈利元，销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，， 当时，，， 答：当每件的售价为50元了，该商店销售了这种商品500件；当每件的售价为80元了，该商店销售了这种商品200件． 24. 已知是的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦，使 ； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使 ，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理是解题的关键； （1）连接 并延长，分别交于点C、D，进而问题可求解； （2）先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求． 【小问1详解】 解：所作图形如下： ∵ 是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ； 【小问2详解】 解：先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴由四边形内角和可知与的夹角为． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程 （，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；② ；③ （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得：， ， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程 得： ， ， 方程 不是“邻根方程”； ③解方程得： ， ， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 26. 如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． （1）若 ，求证：是的切线； （2）若E是的中点，且， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、圆周角定理以及四边形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据圆周角定理，勾股定理、垂径定理以及四边形的面积的计算方法进行解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，过点O作直线， ∵，， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线， ∵ ， ∴ ， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，交于点F，连接GC=GB， ∵E是的中点， ∴ ，， ∴， 在 中，， ， ∴， 在 中，设 ，则，由勾股定理得， ， 即， 解得 ， 即半径为5， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得． 27. 【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则 和 都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5， ．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）或或或；（3）或或 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，由题意易得，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）由弦切角的性质可知，然后可分 ， ， ，进而分类求解即可； （3）由题意可分①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，然后分类求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点C， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， 当为等腰三角形时，则可分：①当 时，则， ∴由三角形内角和得：； ②当 时，则； ③当 时，则， ∴； ④当点E在劣弧上时，且 ，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： ∴， 由弦切角定理可知：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，或或或； （3）由题意可分： ①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 由弦切角的性质可知：， 由题可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作于点E，连接， ∴， ∴过圆心O， ∴， ∴， ∴； ②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作 于点G，连接，如图所示， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的， ∴圆心O在上， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的，， ∴圆心O在上， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴， 分别过点A、O作，垂足分别为点K，R，如图所示， ∴，，即 过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $