广东省惠州市一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

一、选择题 1-5，ABBDD 6-10,CDCBD 二、填空题 11.-1 12.-6 13.1 14.4 15. y＝-x2+38x﹣360 ．或 y＝-（x-19）2+1 ． 三、解答题 16.【解答】解：（1） 抛物线的开口向下，对称轴为直线 x＝2， （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 x＝2， ∴当 x＜2时，y随 x增大而增大. 17.解(1)90°的圆周角所对的弦是直径. (2)如图，设点 O为圆心，连接 OA 交 BC于点M，连接 OC. .cm10 5xx42x OCMCOMOMCRT cm2-xOMxcmOCxcm,O⊙ cm4BCCM BCOA EFBC .EFOA O⊙EF 222 222 所以杯口的直径为 ，，解得）（ ，中，在 ，）（，则的半径为设 ， ２ １ ＝ ， ，∥∵又 的切线，为∵       18.解：由题意得[2（m+1）]2﹣4×m×（m﹣1）＞0， 解得 ． 又 m≠0， 所以 m的取值范围是 且 m≠0． （2）因为该方程有两个实数根分别为 x1、x2， 所以 ， ． 又 + ＝8， 即（x1+x2）2﹣2x1x2＝8， 所以 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解． 又 且 m≠0， 所以 m＝2． 19.解：（1）如图所示； ； （2）I是 v的二次函数；理由如下： ∵函数图象经过点（0，0）， ∴设函数表达式为 I＝av2+bv（a≠0），将（1，3），（2，12）代入得： ， 解得： ， ∴函数表达式为 I＝3v2， ∵v＝3时，F＝3×32＝27， ∴所求表达式合理； 故答案为：二次； （3）∵372km/h＝ km/min， ∴撞击影响是 I＝3× ＝115.32． 20.解：（1）由题意得，y＝40+2x， ∴w＝（150-x﹣100）（40+2x）即 w＝﹣2x2+60x+2000 （2）由题意得，﹣2x2+60x+2000＝2400， 解得 x1＝10，x2＝20， ∵要让利顾客， ∴x＝20，此时售价为 150-20=130元. 答：销售价应定为每件 130元； （3）w＝﹣2x2+60x+2000 ＝﹣2（x﹣15）2+2450（100≤x＜150） ∵﹣2＜0， ∴当 x＝15,即售价为 135元时，w有最大值，w 最大＝2450， 答：销售价定为每件 135元时，利润最大，最大利润为 2450元． 21.（1）证明：如图，连接 BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°， 即：BD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设 BD与 AC交于点 F， 由（1）知：BD⊥DE， ∵DE∥AC， ∴BD⊥AC， ∴CB＝AB＝4， ， 在 Rt△BCD中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 22.【解答】解：（1）由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC，∠BAC+∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣a， ∴对角旋转角为：90°﹣a． （2）∵∠C1AD＝40°， 由旋转可知，∠DAC＝∠D1AC， ∵∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC＝90°， ∴∠D1AC1+∠DAC＝90°﹣40°＝50°， ∴2∠DAC＝50°， 由旋转可知，∠DAC＝∠D2AC2， ∴∠D2AC2+∠DAC＝50°， ∵∠C1AD＝∠C2AD2+∠CAD， ∴∠C2AD＝50°； （ 3 ） ∵ ＝ ＝ 312 ， ， ∵B1C1＝AD，D2C2＝AB，BC＝2AB+4， ∴AB＝ ， 则：312＝ ， ∴ ， ∴130BC＝312AB， ∵AB＝ ， ∴AB＝10，BC＝24， ∴S 长方形 ABCD＝AB•BC＝10×24＝240． 解：（1）把 B（0，﹣2）代入 y＝a（x+3）（x﹣4）得，a＝ ， ∴二次函数的表达式为 y＝ （x+3）（x﹣4）； （2）令 y＝ （x+3）（x﹣4）＝0，得 x＝﹣3或 4， ∴A（4，0）， 设直线 AB为 y＝kx﹣2，代入 A（4，0）得 k＝ ， ∴y＝ x﹣2， ∵OP＝1， ∴Q（1，﹣ ），C（1，﹣2）， ∴QC＝ ， ∴S△ACQ＝ ×QC×PA＝ × ×3＝ ； （3）①过 D作 DF⊥x轴，垂足为 F， ∵∠OBP+∠OPB＝90°，∠FPD+∠OPB＝90°， ∴∠OBP＝∠FPD， ∵∠BOP＝∠PFD，PB＝PD， ∴△BOP≌△PFD（AAS）， ∴PF＝OB＝2，OP＝FD， 设 OP＝m，则 OF＝m+2，代入 y＝ （x+3）（x﹣4）得 （m+2+3）（m+2﹣4）＝﹣m， ∴m2+9m﹣10＝0， ∴m＝1或 m＝﹣10， ∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）． 学科网（北京）股份有限公司 1 惠州一中教育集团 2024-2025学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1.全卷共 6页，满分为 120分.考试用时为 120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和 试卷规定的位置上. 3.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 4.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置，；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是 中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一定是关于 x的一元二次方程的是（ ） A．��2 + �� + � = 0 B．�2 + 3 = 0 C． 1 �2 + 1 � = 1 D．�2 + 2 − �(� − 1) = 0 3．二次函数 y＝﹣（x+3）2﹣2的图象的顶点坐标是（ ） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（3，2） 4．已知点 P在半径为 r的 O 内，且 4OP  ，则 r的值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十 步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是 864平方步，它的宽和长共 60步，问它的 宽和长各多少步？设它的宽为 x步，则可列方程为（ ） A．  60 864x x   B．  60 2 864x x   C．  30 864x x   D．  60 864x x   学科网（北京）股份有限公司 2 6．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（ ） A．60 B． 45 C．90 D．180 7．将抛物线 2 2 3y x x   先沿水平方向向左平移 1个单位，再沿竖直方向向下平移 3个单位，则 得到的新抛物线的解析式为（ ） A． 2( 2) 3y x   B． 2( 2) 5y x   C． 2 4y x  D． 2 1y x  8．如图，已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 E 在 BA 的延长线上，若△ADE 是等边三 角形，则∠BOD 的度数为（ ） A．60° B．100° C．120° D．130° 9．如图，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在 BC，CD上，连接 AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若 ∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（ ） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 10．在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数 2 1( ,y ax bx a b   为常数，且 0)a  的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论： 小赵：该函数图象开口向上； 小钱：该函数的图象经过点 (3,1)； 小孙：该函数的图象经过点 (2, 1) ； 小李：该函数的图象的对称轴为直线 1x  ． 若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（ ） A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李 二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分，只要求写出最后结果. 11.已知点 ( , 2)P x  和点 (3, )Q y 关于原点对称，则 x y  ． 12.已知一元二次方程 2 6 0x kx   有一个根为 1 ，则方程的另一根为 ． 13.如图，在△ABC中， 90C  ， O 是△ABC的内切圆，切点分别为 D、E、F，若 AC=3,，BC=4，则 O 的半径为 ． 14.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P处安装了一台监视器，它的监 控角度是 55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视_____台． 15.如图，抛物线 21 : 2 (0 2)C y x x x    交 x轴于O，A两点；将 1C 绕点A旋转 180得到抛物线 2C ，交 x轴于 1A；将 2C 绕点 1A旋转180得到抛物线 3C ，交 x轴于 2A ，，如此进行下去，则抛物线 10C 的解析式是 学科网（北京）股份有限公司 3 三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分. 16. 已知抛物线 21 2 4 y x x    ． （1）求抛物线的开口方向、对称轴； （2）当 x取何值时， y随 x的增大而增大？ 17．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径. 工具：一张宽度为 2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺. 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点 A0，B0分别靠在杯口上，硬 纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为 C0，D0，利用刻度尺测得 B0D0的长. 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为 A，另一边 与杯口相交于 B，C两点，利用刻度尺测得 BC的长为 8cm. （1）小明认为，他所测量的 B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是:_______________. （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径. 18.若关于 x的一元二次方程  2 2 1 1 0mx m x m     （m≠0）有两个不相等实数根． (1)求 m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为 1x 、 2x ，且 2 2 1 2 8x x  ，求 m的值． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分. 19.【发现问题】 当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影 响（I）与赛车行驶速度 v（km/min）存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影 响的试验数据： 学科网（北京）股份有限公司 4 v（km/min） … 0 1 2 3 4 … I … 0 3 12 27 48 … （1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接． 【猜想验证】 （2）观察图象并猜测：I是 v的 函数．请你据此求出 I关于 v的函数表达式，并验证 所求表达式的合理性． 【实际应用】 （3）某车队搭载 V10引擎的赛车马力达到了接近 1000匹，在某赛道跑出 372km/h的极速．利用 你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？ 20．荔枝是惠州特产之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长做岭南人”的绝句. 今年 6月，惠州市惠阳区举办“东坡荔乡 能量镇隆”的主题活动，同时营销平台在活动直播中推出 一款“以荔会友”产品礼盒，每盒的成本为 100元，若按每盒 150元销售，则同时段每小时可售出 40 盒．为了让利全国网友，决定降价销售，经核算，发现销售价每降低 1元，同时段每小时的销量就 增加 2盒．设该礼盒每盒降价 x元，同时段每小时的销售量为 y盒，每小时的销售利润为w元． (1)写出 y与 x及w与 x的函数表达式． (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到 2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 学科网（北京）股份有限公司 5 21．如图，四边形 ABCD内接于 O ， 90DAB  ，点 E在 BC的延长线 上，且 CED CAB   ． (1)求证：DE是 O 的切线； (2)若 AC DE∥ ，当 4AB  ， 2DC  时，求 AC的长． 五、解答题（三）：本大题共 2小题，第 22题 13分，第 23题 14分，共 27分. 22.某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题： 新定义：把长方形 ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋 转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图 1，在长方形 ABCD中，AB＜AD，AC是对角线， （1）如图 1，把长方形 ABCD绕点 A逆时针作“对角旋转”，使边 AB落在对角线 AC上，此时 点 B的对应点为点 B1，点 C的对应点为点 C1，点 D的对应点为点 D1，连接 AC1，如果∠CAD 度数为 a，请直接写出“对角旋转角”的度数（用含有 a的代数式表示）； （2）在（1）的条件下，如∠C1AD＝40°，那么把长方形 ABCD绕点 A顺时针作“对角旋转”， 使边 AD落在对角线 AC上，点 B的对应点为点 B2，点 C的对应点为点 C2，点 D的对应点为点 D2，连接 AC2，请直接写出∠C2AD的度数； （3）在长方形 ABCD中，BC＝2AB+4，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点 C的对应 点分别为点 C1和点 C2，连接 AC1、AC2、CC1、CC2，△ACC1面积为 312，△ACC2面积为 130， 请直接写出此时长方形 ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 6 23．如图 1，二次函数 y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，﹣2），点 P为 x轴上一 动点． （1）求二次函数 y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式； （2）过点 P作 PQ⊥x轴分别交线段 AB，抛物线于点 Q，C，连接 AC．当 OP＝1时，求△ACQ 的面积； （3）如图 2，将线段 PB绕点 P逆时针旋转 90°得到线段 PD． ①当点 D在抛物线上时，求点 D的坐标； ②点�(2， − 53 )在抛物线上，连接 PE，当 PE平分∠BPD时，直接写出点 P的坐标．