2.8直线与圆锥曲线的位置关系（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 情景与问题 我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题. 而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题。类似地，我们可以用同样的方法探讨直线与圆锥曲线的位置关系. 问题探究 你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎样求得对应线段的长？ 一、直线与椭圆的位置关系 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 没有交点 一、直线与椭圆的位置关系 直线l：y=kx+m 椭圆C: 联立方程， 【典型例题一】 例1 判断直线y=2x-2与椭圆是否有公共点. 如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 解：联立直线与椭圆的方程， 解方程组得， 所以直线与椭圆有两个公共点，公共点坐标为(0,-2),(,) 所以所求线段长为 问题探究 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线什么样的位置关系？ 二、直线与双曲线的位置关系 相交 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 一个交点 无交点 二、直线与双曲线的位置关系 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0 当直线斜率存在时，直线方程:y=kx+m Δ>0 ⇔ 相交，两个交点 Δ=0 ⇔ 相切，一个交点 Δ<0 ⇔ 相离，无交点 y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 二、直线与双曲线的位置关系 当直线斜率不存在时，直线方程: x = t 若t=±a时，直线与双曲线相切； 若t <-a 或 t >a时，直线与双曲线相交，且有两个交点. x = t x = t 【典型例题二】 例2 判断直线l：y=x+1与双曲线C：x2-y2=1是否有公共点. 如果有，求出公共点的坐标. 解：联立直线与双曲线的方程， 消去y，可得x2-(x-1)2=1，由此可解得x=-1，此时y=0. 因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(-1,0) 【典型例题二】 练习 已知双曲线C：x2-=1，过点P(1,2)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( ) A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条 B 解:当直线l斜率不存在时，l：x=1,与双曲线只有一个交点； 当直线l斜率存在时，设直线l:y-2=k(x-1) 整理得 联立直线l与双曲线的方程 当k=2时，方程化为 4=0，不成立； 当k=-2时，方程化为 16x-12=0，只有一解，符合题意； 当k≠±2时， 无解 综上，直线l 的方程为 x=1 或 y=-2x+4. 三、直线与抛物线的位置关系 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 没有交点 三、直线与抛物线的位置关系 k2x2+(2mk-2p)x+m2=0 当直线斜率存在时，直线方程:y=kx+m Δ>0 ⇔ 相交，两个交点 Δ=0 ⇔ 相切，一个交点 Δ<0 ⇔ 相离，无交点 若k=0，则直线与抛物线一个交点； 若k≠0，则Δ=b2-4ac, 【典型例题三】 例3 已知点A(0,2)和抛物线C: y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0,2)可知， 直线l就是y轴，其方程为x=0. 由 消去x得y2=0，方程只有唯一实数解， 所以直线x=0与抛物线C相切. 如果直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+2， 由 消去x，得ky2-6y+12=0， 则k≠0且(-6)2-4×12k=0，解得k=， 此时直线l：3x-4y+8=0 综上，直线l的方程为x=0或3x-4y+8=0 问题探究 直线被弦截得的弦长是多少？ F1 F2 O A B 直线l：y=kx+m 椭圆C: 四、弦长问题 直线l：y=kx+m 与 曲线C相交于A,B两点： 【典型例题四】 例4 已知直线l：y=x-2与抛物线C: x2=-6y相交于A,B两点，且O为坐标原点， (1)求弦长|AB|； (2)判断是否成立，并说明理由. 【典型例题四】 解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2， 因为A,B都是直线上的点，所以y1=x1-2，y2=x2-2， 则|AB|2=(x2-x1)2+(x2-x1)2=2(x2-x1)2， 联立方程组消去y，得x2+6x-12=0， 由韦达定理得，x1+x2=-6，x1x2=-12， 所以(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=84, 因此，|AB|2=168，所以|AB|=2 【典型例题四】 解：(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则(x1,y1)，=(x2,y2) 因此x1x2+y1y2， 将y1=x1-2，y2=x2-2代入上式得 x1x2+(x1-2)(x2-2)=2x1x2-2(x1+x2)+4 由(1)知，x1+x2=-6，x1x2=-12， 所以2×(-12)-2×(-6)+4=-8≠0, 所以不成立。 课堂小结 直线与圆锥曲线的位置关系: (1)从几何角度看： 无公共点 有且只有一个公共点 有两个相异的公共点 课堂小结 直线与圆锥曲线的位置关系: (2)从代数角度看:设直线l的方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0， 当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). 课堂小结 直线与圆锥曲线的位置关系: (2)从代数角度看:设直线l的方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$