20.函数比较大小（指数式，幂式）-高中数学全部题型大总结（全国版）

20.函数比较大小（指数式，幂式） 1．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 6．（2023·山东临沂·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·湖南株洲·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·江西南昌·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2016·全国·高考真题）已知，，，则 A． B． C． D． 16．（2022·江苏·一模）已知，则当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 17．（2023·浙江嘉兴·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·全国·课后作业）已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　） A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a 20．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·吉林·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2022·江西·三模）设．则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·湖北·阶段练习）记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（2022·湖北·模拟预测）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·陕西·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．（2023·四川德阳·一模）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一上·福建泉州·期中）若，，且满足，那么（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 35．（22-23高一上·浙江丽水·期末）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·福建厦门·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·广西·阶段练习），，为正实数，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2023高三·全国·专题练习）已知非零实数满足，则下列不等关系中正确的是（　　） A． B．若，则 C． D．若，则 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A B B A C B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A D A A A B B B C B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B A D C D D A D C A 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 答案 C C B ABD ABD AD AC BCD 1．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 2．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、由基本不等式证明不等关系 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 3．D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 4．A 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项. 【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾. 5．B 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、由不等式的性质证明不等式、利用导数证明不等式、比较指数幂的大小 【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解. 【详解】对于函数，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即. 所以，. 由，得，所以，则， 所以，即. 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法： （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 6．B 【难度】0.4 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、零点存在性定理的应用、比较指数幂的大小 【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小. 【详解】令，则在R上单调递增， 由，则时，即，而， ∵， ∴. . 综上：. 故选：B. 7．A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小 【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果. 【详解】因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到， 所以， 故选：A. 8．C 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、近似计算问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案. 【详解】由，，则， 令，， 当时，，则单调递增，即， 故，可得，即； 由， 且，则，即. 综上，. 故选：C. 9．B 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 10．B 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、比较指数幂的大小 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解. 【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减， 所以当时，，即，所以， 又，，且，， 所以； 故选：B 11．A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小 【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案． 【详解】. 设，则有，单调递减， 从而，所以，故，即， 而，故有． 故选：A． 12．D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确； 对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确； 对于C，因为，所以， 而函数为减函数，所以，故C结论正确； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D结论错误. 故选：D. 13．A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、对数的运算性质的应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用幂函数的单调性以及对数运算判断处，再结合的奇偶性以及单调性，即可得答案. 【详解】因为是定义在上偶函数，所以， 因为，则，所以， 因为在上单调递增，所以， 即， 故选：A． 14．A 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、由导数求函数的最值（不含参）、比较对数式的大小 【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，故. 令，则. 当时，，单调递减， 则，即. 故. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案. 15．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【详解】因为，，， 因为幂函数在R上单调递增，所以， 因为指数函数在R上单调递增，所以， 即b<a<c. 故选：A. 16．B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可得，，三段和的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小关系. 【详解】解：由函数， 得函数在上递增，在上递减，在上递增， 作出函数和的图像，如图所示， 令，得或， 结合图像可知，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，当时，. 故选：B. 17．B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解. 【详解】，又因为通过计算知，所以，即， 又，所以，所以. 故选：B 18．B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】因为在上递增，得出，又因在上递增，可得. 【详解】在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以， 即，所以， 故选：. 19．C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小． 【详解】因函数在R上单调递减， 则， ，又，则，即. 因函数在R上单调递增，则.所以b＞a＞c． 故选：C． 20．B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数与指数函数的单调性判定即可. 【详解】由单调递增， 则可知，即B正确. 故选：B. 21．B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】得到，得到，得到答案. 【详解】，故，即； ，即； 故. 故选：B 22．A 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知、，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，进而可得，即可得出结果. 【详解】由，故； ，故； 假设，有， 令，则，所以在上单调递增， 而，则，所以成立，； 故． 故选：A． 23．D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由函数在R上单调递增，可判断，再对两边取对数，由函数在单调递减，可得，从而得解. 【详解】设，则在R上单调递增， 故，即； 由于， 设，， 则，， 则在单调递减，故， 即，则； 综上得，， D正确. 故选：D 24．C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】，根据单调性可以判断，再作差可判断，；再构造，根据单调性可判断. 【详解】根据题意，设，易知当时，递减； ，即为；，即为，所以，即； ，即，故A错，故D错； ，即，故B错； 构造函数，所以恒成立， 所以在单调递增，所以，即，所以； 故选：C. 25．D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以， 因为函数单调递增，所以，所以. 故选：D 26．D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小 【分析】构造函数，利用导数得到其单调性则比较出，利用指数函数和幂函数以及正弦函数的单调性即可比较出，则最终得到三者大小. 【详解】先变形，令， 下面比较当时，与的大小. ①令，则，令， 得，当时，单调递增， 所以，所以，即，所以. ②，所以，， 所以，则，所以. 综上，， 故选：D. 27．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 28．D 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得. 【详解】因为，a、b、c是正实数， 所以， 因为，所以， 对于A，若，则，满足题意； 对于B，若，则，满足题意； 对于C，若，则，满足题意； 对于D，若，则，不满足题意. 故选：D. 29．C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由指数函数与幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】设，由指数函数的性质知在R上单调递减， 所以， 令，由幂函数的性质知在单调增， 所以， 所以. 故选：C 30．A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、比较对数式的大小 【分析】根据的取值范围，明确三角函数的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案. 【详解】解：已知，则， 因为在上是减函数，故； 因为幂函数在上是增函数，故， 故． 故选：A. 31．C 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小 【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断. 【详解】令，则， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为在上递增，且， 所以，即， 即，所以，所以B正确， 对于C，因为 ， 所以，所以C错误， 对于D，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确， 故选：C 32．C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】由，可得. 因为函数在上单调递减，所以. 因为函数在上单调递减，所以. 因为函数在上单调递减，所以. 综上，. 故选：C 33．B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】 利用指数及幂函数的单调性比较指数幂的大小. 【详解】由题设，，， 由为增函数，且，故； 由在上为增函数，且，故； 综上，. 故选：B 34．ABD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较指数幂的大小、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 35．ABD 【难度】0.4 【知识点】判断零点所在的区间、作差法比较代数式的大小、指数式与对数式的互化、判断指数函数的单调性 【分析】由题意结合的单调性易得，根据已知零点判断A、C；应用零点存在性判断的范围，由求范围判断B；放缩法可得，作差法比较的大小关系判断D. 【详解】由题意，即， 而在定义域上递增，故， 所以，即，A对，C错； 由，，故零点， 所以，B对； 由，则， 而，显然，则，故， 综上，，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：注意函数形式得到，结合单调性得到，进而有为关键. 36．AD 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值 【分析】对A、B：借助不等式的性质即可得；对C：借助指数函数的单调性即可得；对D：借助基本不等式计算即可得. 【详解】对A：由，则，故A正确； 对B：由，则，故B错误； 对C：由在上单调递增，故，故C错误； 对D：由，则，故， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 37．AC 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】将变形得到即可得 、、间的大小关系，再分别构造出、化简后即可得、、大小关系. 【详解】由， 即有，由，则，故A正确，B错误； 因为， 故， 因为，故， 同理，因为 故， 因为，故，即有，故C正确，D错误. 故选：AC. 38．BCD 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数的图象与性质及幂函数的性质，分类讨论一一判定即可. 【详解】如图，    由指数函数的图象可知，或者，所以A错误，B、C正确； D选项中，，则有，所以D正确． 故选：BCD 答案第20页，共21页 答案第15页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$