16.求函数值域（利用基本不等式）-高中数学全部题型大总结（全国版）

16.求函数值域（利用基本不等式） 1．（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 7．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）若，为锐角，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高二上·陕西西安·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 9．（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 10．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江台州·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 12．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C．2 D．1 13．（2021·江西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·吉林·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（19-20高一下·湖北武汉·期中）是不同时为0的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·山东聊城·一模）设，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 19．（22-23高三上·湖北孝感·阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（   ） A． B． C．的最小值为12 D．的最小值为 20．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 21．（20-21高一上·浙江湖州·阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 ． 22．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 23．（21-22高一上·广东汕尾·阶段练习）已知，求的最小值为 . 24．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 25．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 26．（22-23高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为 . 27．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为 28．（2023·吉林·二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为 ． 29．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 30．（2023·天津·二模）已知实数、满足，则的最小值为 . 31．（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 32．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 33．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值. 34．（20-21高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值 （1）求函数的最小值. （2）若正数，满足，求的最小值. 35．（21-22高二下·陕西西安·阶段练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 36．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若D为边BC上的一点，AD为∠BAC的平分线，且，求的最小值． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D B A A A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A A A A A BC ACD ACD BC 1．A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、扇形中的最值问题 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 2．B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 3．C 【难度】0.4 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 4．A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 5．D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 6．B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 7．A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求积的最大值 【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 即，得， 由于，为锐角，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故选：A 8．A 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 由 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 10．A 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 11．C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由余弦定理可知，， 由可得， 化简可得， 所以，即， 即， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 12．A 【难度】0.4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由，两边同时除以得，再将用表示，再结合基本不等式求出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将已知变形成是解决本题的关键. 13．A 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、数量积的运算律、向量减法法则的几何应用 【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以，整理得， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 所以的最大值为 故选：A 【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键. 14．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，为锐角，且， 两边同时除以得，， ， 为锐角，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为． 故选：A． 15．A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 16．A 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同， 不妨设均为正实数， 则 ， 当且仅当，且取等，即取等号， 即则的最大值为， 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 17．BC 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18．ACD 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由可得，解得， 所以，，B错； 对于C选项，由可得，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，， 因为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对. 故选：ACD. 19．ACD 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 20．BC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 21．6 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为6. 故答案为：6 22． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 23．/. 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】将函数的解析式变形，然后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 24．/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 25． 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x，y，z均为正实数， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 26． 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求指数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，所以， 又当时，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，， 因为为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 27． 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，则， 解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为， 则， 即的最大值为 故答案为： 28．/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】分析出函数为上的增函数，且为奇函数，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，函数为奇函数， 因为函数、、均为上的增函数，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，，即，当取最大值时，则， 所以，， 当且仅当时，即当，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 29． 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，得，设，则，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 设，则， 由 ， 当且仅当时，取等号， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键. 30．/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知可得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，即， 所以，， 所以，，当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 31． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，得，将变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 32．9 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 33． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 34．（1）；（2）5. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果； （2）化为，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】（1），当且仅当即时等号成立， 故函数的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当,即，时等号成立， 故的最小值为5. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 35．(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; （2）在上单调递增， 设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 36．(1) (2)16 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先用倍角公式化简已知等式，再用正弦定理边角互换，最后由余弦定理即可求解. （2）由题意得，，利用三角形面积公式即可求得，再用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）由倍角公式得， 所以， 又， 所以， 故． 由正弦定理得， 又，，所以． （2）因为AD平分∠BAC，所以． 设的面积为，的面积为，的面积为， 所以， 故， 所以，故，所以， 当且仅当，时等号成立．所以的最小值为16． 答案第22页，共22页 答案第15页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$