15.求函数值域（二次函数闭区间上最值问题）-高中数学全部题型大总结（全国版）

15.求函数值域（二次函数闭区间上最值问题） 1．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·四川达州·一模）已知函数的值域为，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 7．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 9．（22-23高一上·江西抚州·期中）函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为 ． 10．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 11．（22-23高一上·天津·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (3)设，求的最小值． 12．（21-22高一上·浙江台州·阶段练习）已知，函数． (1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）； (2)记在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围． 13．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数且. (1)若的值域为，求的取值范围. (2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由. 14．（21-22高一上·四川成都·期末）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． (1)求函数的解析式； (2)若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 15．（22-23高二下·福建福州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 16．（22-23高一下·湖南·期中）已知函数的最小值为. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（21-22高一上·北京朝阳·期末）已知函数，（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围． 18．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 19．（22-23高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 20．（17-18高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数. (1)求的最小值; (2)求的最大值. 21．（21-22高一上·江苏南通·期中）已知函数 (1)当时，求的单调增区间； (2)若，使，求实数a的取值范围． 22．（23-24高一上·北京·期中）函数，其中． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，f（x）的最小值为0，求a的值． 23．（20-21高一上·广西河池·期末）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 24．（22-23高一上·福建福州·期末）已知实数，设函数. (1)当时，求函数f（x）的值域： (2)求|f（x）|的最大值. 25．（2023·江西·模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 26．（20-21高二下·福建南平·期中）已知函数， （1）若恒成立，求的范围． （2）求的最小值． 27．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)求函数的最小值. 28．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数， (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 29．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围. 30．（22-23高一上·江苏泰州·期末）解决下列问题： (1)若不等式对于恒成立，求实数的范围； (2)函数，若存在使得成立，求实数的范围. 31．（22-23高一上·浙江台州·期中）已知二次函数. (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值； (3)在（2）的条件下，恒成立，求的最小值. 32．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数（且）为定义在R上的奇函数. (1)判断并证明的单调性； (2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围. 33．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 34．（2023高一下·海南·学业考试）已知函数，，且在上单调递增 (1)若恒成立，求的值； (2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围 35．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，对，使得成立，求的取值范围. 36．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数. (1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围； (2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围. 37．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）设函数是定义域为R的偶函数. (1)求p的值； (2)若在上最小值为，求k的值. 38．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 39．（22-23高一上·广东广州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)令，求的最小值. 40．（20-21高一下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，． (1)若，求x的值； (2)若函数，且函数没有最值，求实数a的取值范围． 41．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数在上的最大值为4，求的值． 42．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，其中. (1)若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最大值为，求实数的值. 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A D C D 1．D 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 2．A 【难度】0.4 【知识点】分段函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】分类讨论结合一次函数、二次函数的性质与图象计算即可. 【详解】以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下： ①当时，函数在区间上单调递增， 即，此时单调递减，；    ②当时，， 所以， 易知当时，， 当，， 此时；    ③当时，， 即， 易知当时，， 当，， 此时；      而，综上可知的最小值为. 故选：A 3．D 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据函数的单调性求参数值、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得. 故选：D. 4．C 【难度】0.4 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求. 【详解】∵， ∴， 令，设，则， 当时，在上单调递减， ∴，解得，∴， 当时，在上单调递增， ∴，解得，∴， 当时，，无解， 当时，，无解. 综上，或. 故选：C. 5．D 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得定义在上的函数具有性质， 即，满足， 即，恒成立； 记函数，的值域为M，， 则由题意得, 当，即时，在单调递减， 则，即,此时不满足，舍去； 当，即时，在时取得最大值， 即，即 , 要满足，需，解得或 ， 而，故，即m的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 6． 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可. 【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为； 当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴. i.若，则二次函数的最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； 综上所述：实数t的取值范围是. 故答案为： 7． 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解. 【详解】函数最小值为0， 设， 所以只要满足恒成立， 函数对称轴为，且， ①，即时，满足题意； ②，即时， 需满足， 即，得， 此时实数的取值范围是. 综上，实数的取值范围是 故答案为：. 8． 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【详解】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 9． 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】本题的含义是在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求和在对应区间上的最小值即可. 【详解】对于，显然是增函数，，最小值为； 对于， 当时，，即； 当时，，，无解； 综上，a的取值范围是； 故答案为：. 10．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）按照和分类讨论，当时，根据一次函数判断，当时，根据二次函数性质列不等式组求解即可. （2）当时，根据一次函数性质判断，当时，根据二次不等式恒成立列不等式组求解即可. （3）动轴定区间问题，按照、、分类讨论求解最值即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， ∴当，即时，满足函数在单增，所以； 当时，若在上单调递增，则需满足，解得， 综上：. ∴所求实数的取值范围为. （2）当时，由得，不符合题意； 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得； 综上：∴实数的取值范围为. （3）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减， 此时． 综上，. 11．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】 （1）根据函数奇偶性可得，由即可得，代入可得解析式；（2）根据函数单调性定义按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；（2）利用换元法根据一元二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类即可. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，                     所以，即，　　　 因为， 所以， 即的解析式为. （2）设，且，则                                              　　     由，得, 又由，得， 于是,即，     所以在区间上单调递增. （3）令，由（2）可知，即，    　 设，，易知关于对称； ①当时，，　 ②当时， ③当时，，　 综上可得 12．(1)递增区间为，. (2). (3) 【难度】0.4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、与二次函数相关的复合函数问题、解分段函数不等式 【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值. （2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式； （3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可. 【详解】（1）解（1）当时，， 即，则， 故函数的递增区间为，递减区间为，. （2）由题可知， 当时，在上递减，在递增，则； 当时，在上递减，则， 综上：． （3）（3）令，只需， 当，且时，，在上单调递减， ∴， 当时，，在上单调递增， ∴； 当时，，在上递减，∴， 综上可知，，所以． 13．(1) (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、根据对数函数的最值求参数或范围、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解； （2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值. 【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以. 当时，的值域为，符合题意. 当时，由，解得. 综上，的取值范围为. （2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去. 当时，，不符合题意. 下面只讨论的情况. 若，则在上单调递增，由， 解得， 此时， 得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的. 若，则在上单调递减， 由，解得， 此时， 得，则当，即时，存在，符合题意. 综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值. 14．(1) (2)①；②答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数与方程的综合应用 【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. 【详解】（1）（1）由得，对称轴为， 设， ∴，得， ∴． （2）（2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ②画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 15．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）利用基本不等式求函数值域； （2）将问题转化为的值域为值域的子集求解. 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为. （2）∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A.由题意知， ∵函数 ①当，即时，函数在上递增， 则，即 ，∴ ②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， ③当，即时，函数在上递减， 则，即 ，满足条件的不存在， 综上所述，实数a取值范围为. 【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题. 16．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断二次函数的单调性和求解单调区间、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据题意可知二次函数的对称轴为，分类讨论当、、时函数的单调性，求出对应的最小值即可； （2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）函数，对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 所以，即； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； 当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故. （2）由（1）知，当时，，函数单调递减， 当时，，对称轴为，函数在上单调递减， 当时，，函数单调递减， 注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减. 由，得，解得， 故实数m的取值范围为. 17．(1)或 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可； （2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围； （3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. 【详解】（1）当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． （2）由得， 即不等式的解集是． 所以，解得． 所以的取值范围是． （3）当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论. 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）结合二次函数的对称轴及端点值，即可求解参数范围. （2）根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解最小值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为，， 所以在上的值域为时，； （2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上， ①当时，在上单调递增， 故； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故； ③当时，在上单调递减， 故． 综上所述，． 19．(1) (2)存在 (3) 【难度】0.4 【知识点】求幂函数的解析式、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）因为是幂函数，所以； （2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题； （3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或 当时，，在为减函数，当时，， 在为增函数，所以. （2），令，因为，所以， 则令，，对称轴为． ①当，即时，函数在为增函数， ，解得． ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去． 当，即时，函数在为减函数，， 解得．不符合题意，舍去． 综上所述：存在使得的最小值为. （3），则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②-①得：， 所以， 即③． 将③代入②得：． 令，因为，，所以． 所以，在区间单调递减， 所以 故存在实数，使函数在上的值域为， 实数的取值范围且为． 20．(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值； （2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数在每段上的最大值从而得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，在区间上单调递减，最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值； 当时，在区间上单调递增，最小值； 综上所述：. （2）由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为； 当时，在单调递增，所以的最大值为； 综上所述：的最大值. 21．(1)单调递增区间为和 (2) 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的单调性 【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 时，单调递增， 时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为和， （2），使 所以， 即，      ①当时，，对称轴， 当即时，， ， 所以， 所以或， 因为，所以 ， 当即时，， ， 所以， ， 因为，所以， ②当时，，对称轴， 所以， ， 所以， ， 所以 ，                          ③当时，， 因为， 因为， 所以不可能是函数的最大值， 所以， 所以， 所以，                               综上所述：a的取值范围是  . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将，使，转化为，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力 22．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）直接解一元二次不等式； （2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可. 【详解】（1）当时， 不等式， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； （2）易知的对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， 则，得，符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 解得或（舍）； ③当时，函数在上单调递减， 则，解得，不符合题意， 综上所述，的值为或. 23．(1)偶函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3）由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 24．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式 【分析】(1)令，则即求函数f（x）的值域转化为求，的值域，根据二次函数在闭区间的最值求法即可； (2)令得从而问题转化为求函数，的最大值.通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，即可求解最大值. 【详解】（1）当时，， 令， 则，所以 ，即. 则 ，即 所以函数f（x）的值域. （2）令 令， 则，所以 ，即. 则， 令， 所以是对称轴为，开口向上的抛物线， 且 记|f（x）|的最大值为. 当，即时， 此时在上单调递减，且； 当，即时，此时， 当，即时，此时， 当，即时，不符合题意舍去. ,即 【点睛】关键点点睛： 求二次函数在闭区间的最值时，要注意讨论对称轴与区间的位置关系，一般讨论对称轴在区间的左边，对称轴在区间的里面，对称轴在区间的右边. 25．(1) (2)最小值为2 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案； （2）将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案. 【详解】（1）若时，在区间上单调递减， 所以. 若，则二次函数图象对称轴， 当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远， 所以. 当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近， . 若，对称轴在区间上单调递减， 综上，. （2）因为恒成立， 即恒成立， 令, 所以, 当时，因为，所以， 所以在上是单调递增函数. 又因为，所以关于的不等式不能恒成立. 当时，, 令得，所以当时，；当时，. 因此函数在上是增函数，在上是减函数. 故函数的最大值为. 令，因为. 又因为在上是减函数，所以当时，, 即关于的不等式恒成立， 所以整数的最小值为2. 【点睛】方法点睛：解答关于的不等式恒成立问题，需将问题转化求函数最值，因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决. 26．（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用分离参数法，结合基本不等式，并根据不等式恒成立的意义求解； （2）根据对称轴与区间中点的位置分类讨论，结合二次函数的图象和性质求得. 【详解】解：（1），，，， ，当且仅当时成立，∴， ． （2）当即时，； 当即时，， 综上，． 27．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、分式不等式 【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解. 【详解】（1）不等式可化为：, 所以0， 即, 解得或， 所以不等式的解集为. （2） 当时， 则. ①若，则在单调递减，则的最小值为. ②， 当，即时，在单调递增，则的最小值为. 当，即时，在单调递减，在单调递增，则的最小值为. 综上：当时，; 当时，; 当时，. 28．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、根据对数函数的值域求参数值或范围、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解； （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含， ， 当时，，其值域为，不满足条件， 当时，令，则函数的对称轴为， 当时，，即的值域为， 所以，解得， 当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件， 综上所述，，所以满足条件的整数的值为； （2）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得或， 由函数不是常数函数，所以， 经检验，符合题意，即， 由，，， 得，，， 只要即可， 当时，， 所以函数，则， ， 令，因为，所以， 函数， 当时，，则时，恒成立，符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，不等式组无解； 当，即时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 29．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算可得； （2）分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解； （3）结合（2）求出的值域，则当，恒有成立，令，，则，再分、两种情况讨论，分别求出，即可得解. 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 若在上单调递减，则，即的取值范围为； （2）因为，， 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以； 当时，； 所以； （3）当时，则， 因为当，时，恒有成立， 所以当，恒有成立， 令，，则， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得，所以； 综上可得. 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】对于（1），， 分两种情况讨论可得答案； 对于（2），存在使得等价于，其中. 【详解】（1）. ①当时，有，则符合题意； ②当时，有. 综上，实数的范围是. （2）存在使得等价于，其中. 又. ①当，在上单调递增， 则，得此时； ②当时，在在单调递减，在 上单调递增，则 或，结合，可知此时不存在； ③当时，在上单调递减， 则，结合，得此时不存在. 综上：实数的范围是 31．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）配方后，由函数在区间上不单调性得到不等式，求出实数的取值范围； （2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值； （3）法一：在（2）基础上得到，参变分离后得到，由基本不等式求出的最大值，从而求出的最小值； 法二：在（2）基础上得到，先得到，再根据对称轴分和两种情况，结合函数单调性得到的最小值. 【详解】（1）， 要使函数在区间上不单调， 则，且， 解得:， 实数的取值范围是； （2）由（1）知， 所以函数图象开口向上，对称轴方程为， 当即时，函数在区间上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为； 当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，的最小值； 当时，函数在区间上单调递减， 当时，取得最小值，最小值为 综上所述，； （3）法一：由，易知， ∵恒成立， ∴， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴， ∴， ∴的最小值为. 法二：由，易知， ∵恒成立， ∴， 当，即时，令，此时在上单调递增， 只需，解得， 当，即时，此时，不合要求，舍去， 综上， ∴的最小值为. 32．(1)函数在R上单调递增，证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数奇偶性求得a的值，利用函数单调性的定义即可证明结论. （2）求出函数的值域，利用换元法将转化为，讨论函数图象对称轴与给定区间的位置关系，确定其值域，结合题意可知两函数值域之间的包含关系，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）由题意函数（且）为定义在R上的奇函数, 得：，解得. ∴， 验证：，则， 即，即为奇函数； 任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，故， 所以函数在R上单调递增. （2）由（1）知，在R上单调递增， ∴时，，即， 即的值域为，设为A. ， 令，则，设，其值域为B， 由题意知. 的图象的对称轴为， 当时，在上单调递增，， ∴，与矛盾，所以舍掉； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， ∴， ∴ ，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， ∴， ，则， 当时，在上单调递减，， ，与矛盾，所以舍掉. 综上所述，m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：涉及到含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题，要注意分类讨论，讨论的标准是考虑函数图象的对称轴与给定区间的位置关系，结合函数单调性，即可确定值域. 33．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可； （2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”， ①当时，，， 由，得，从而此时； ②当时，，， 由得， 从而； ③当时，，， 由，得， 从而； ④当时，，， 由得， 从而此时； 综上可得，的取值范围为. 34．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据恒成立可得，代入可得，进而根据单调性得，两者结合即可求解， （2）根据题意转化成两个函数的值域问题，利用三角函数的性质可求解,分类讨论求解含参的二次函数的值域即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以，，解得，. 设的最小正周期为. 因为在上单调递增，由于 故，即，得， 所以，经检验满足题意； （2）当时，总有使得， 设在上的值域为，在上的值域为，则, 由（1）得 当时，，. 的图象的对称轴为直线 当，即时，在上单调递增，. 由得，解得，所以. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由得 解得， 又因为，所以. 当，即时，在上单调递减， 由得，解得，又因为，所以. 综上，的取值范围为. 35．(1)答案见解析 (2). 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集. （2）利用函数的思想构造函数分类讨论求函数的值域，然后根据根据条件即得. 【详解】（1）令，解得或， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； （2）由， 代入整理得，令， ①当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. ②当，即时，对任意. 所以解得； ③当，即时，对任意. 所以，此时不等式组无解. ④当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 36．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，利用对勾函数单调性求最大值即可； （2）由，，使不等式成立可得 ，是一元二次函数，利用对称轴位置分类讨论求最小值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 所以关于的不等式对恒成立， 转化为对恒成立， 即对恒成立， 令，记，因为，所以， 则，因为在上单调递增， 所以，，所以； （2）对，使不等式成立， 转化为 ， 在上单调递增， ， ， ①当，即时，在上单调递增， ， 此时，且，解得； ②当，即时，在上单调递减， 此时，且，解得； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，且，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 37．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、含参指数函数的最值、由奇偶性求参数 【分析】（1）由偶函数的定义可得，结合恒等式的性质可得的值； （2）求得的解析式，设，可得，设，对称轴为，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，求得的值； 【详解】（1）函数是定义域为的偶函数， 可得，即为， 化为， 由，可得，即； （2）， 设，由，递增，可得， 设，对称轴为， 当时，在,递增，可得的最小值为， 解得，舍去； 当时，在处取得最小值，且为， 解得舍去）， 综上可得，； 38．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断或证明函数的对称性、求二次函数的值域或最值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 39．(1); (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数的最小正周期； （2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性质即可求最小值. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为. （2）由，可得，所以. 令,则， 令，其对称轴为， ①当，即， 在上单调递增，所以； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； ③当，即时， 在上单调递减，所以. 综上所述， 故 40．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的二次式的最值、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量得出方程进行求解即可； （2）先表示函数，转化为二次函数在给定区间上的最值问题进行求解即可. 【详解】（1），，， ． 又，． ，． （2）， ，． 令，则，． 函数没有最值等价于函数在区间上无最值． 或． 实数a的取值范围为． 41．或. 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】先求得其对称轴为，讨论对称轴和区间中点值的大小关系，求得其最大值，由最大值为，可求得的值． 【详解】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 所以或. 42．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）将不等式化简为，再结合一元二次不等式在恒成立问题，可联系一元二次函数图象，即可解决. （2）讨论给定区间与对称轴的关系，找出在不同情况下的最大值，再与题干最大值为建立等式，解出符合题意的即可. 【详解】（1）∵不等式对于一切实数均成立， ∴即对于一切实数均成立， ∴即， ∴解得或， ∴的取值范围为. （2）对称轴为， ①当时，在单调递减， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴解得或， ∴； ②当时，在单调递增，在单调递减， ∴， 显然，不符合题意； ③当时，在单调递增， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴，解得或， ∴； 综上所述，或. 答案第50页，共50页 答案第13页，共50页 学科网（北京）股份有限公司 $$