13.求函数值域（分离常数法）-高中数学全部题型大总结（全国版）

13.求函数值域（分离常数法） 1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 3．（2023·河南·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（2022高三·全国·专题练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（19-20高一上·重庆沙坪坝·期末）设函数在区间上的最大值和最小值分别为､,则. A． B．13 C． D．12 8．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 10．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上的值域为 C．若在上单调递减，则 D．若，则在定义域上单调递增 11．（2022高三·全国·专题练习）等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的图象关于原点对称 C．的图象关于轴对称 D．，且恒成立 13．（21-22高三上·山东·阶段练习）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是 ． 14．（22-23高一上·湖南·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为 . 15．（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）设实数满足，则代数式的最小值为 . 16．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 17．（21-22高一上·浙江·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 18．（21-22高二上·上海闵行·期末）函数的值域是 ． 19．（2024高二下·全国·专题练习）函数的值域为 ． 20．（21-22高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 21．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 22．（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 23．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 24．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的值域为，求正实数a的值； (3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 25．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 26．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 27．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列函数的值域． (1)，； (2)； (3)，； (4)y＝； (5)y＝2x－. 28．（22-23高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 29．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）（1）求函数 的定义域； （2）求下列函数的值域： ①； ②. 30．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数． (1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值； (2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 31．（21-22高一上·浙江杭州·期末）已知，函数 (1)若函数过点，求此时函数的解析式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C D B C B ABC AC 题号 11 12 答案 AB BD 1．D 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 2．C 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、判断或证明函数的对称性 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 3．B 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解； 方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解； 【详解】方法一：函数， 因为，所以， 所以.所以. 所以，即. 当时，； 当时，. 故的值域为. 故选：B. 方法二：由，得. 因为，所以，解得. 当时，； 当时，. 所以的值域为. 故选：B. 4．C 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本（均值）不等式的应用、函数新定义 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 5．D 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 6．B 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 7．C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】把函数解析式化为,令,则,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值. 【详解】解：； 因为，所以， 令，则； 因为， 根据对勾函数性质可知当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为. 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题. 8．B 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先换元，再分离常数求值域即可. 【详解】令，， 可得，， ，故. 故选：B. 9．ABC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数函数在区间内的值域、求指数（型)函数的定义域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【详解】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC 10．AC 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D. 【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确； 选项B：， 由，可得，则， 当时，，则在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为. 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为.判断错误； 选项C：， 若在上单调递减，则，解之得.判断正确； 选项D：， 则时，在和上单调递增.判断错误. 故选：AC 11．AB 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据等差数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，分离结合即可求得的范围，进而可得正确选项. 【详解】因为等差数列中，，且， 所以， 整理得， 因为，所以，， 所以， 所以实数的可能取值为，． 故选：AB． 12．BD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据分离常数的方法得到的值域，根据且定义域为即可得为奇函数且关于原点对称. 【详解】，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项A不正确；的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项C不正确，选项B正确； 设任意的，则， 因为，所以， 即，又因为，所以，故选项D正确. 故选：BD. 13． 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围. 【详解】当，时， ，， 在处的切线方程为，即， ； 当，，， 同理可求得：在处的切线方程为：， ， 两条切线互相垂直，，，， 令， 设，， 则在上单调递增，，即． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用导数的几何意义求得，将表示为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得结果. 14． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义 【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】解：， 则，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 15． 【难度】0.4 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】确定，，从而将化为，换元令，结合一元二次方程有解可求得t的范围，继而化为，结合t的范围，即可求得的范围，即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，， 而，不合题意，故；同理， 故， 令，则，， ， 要使实数x满足此一元二次方程，即一元二次方程有实根， 需满足，解得， 由，则 ， 当时，，故 所以的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题为双变量问题的求解最值问题，解答时要转化为一个变量问题解决，解答的关键在于将化为，从而采用换元法，即令，将问题转化为一个变量问题求解.同时要注意将化为，结合一元二次方程有解，确定参数t的取值范围. 16． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 17． 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域. 【详解】令， 则， 在上单调递增，，，， 的定义域为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：已知的定义域，求解定义域的基本思路为：的值域即为的定义域. 18． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】通过三角换元，转化成三角函数的值域问题. 【详解】令，则，令， 则，所以， 所以，所以， 所以函数的值域是. 故答案为： 19．且 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用常数分离法可求函数的值域. 【详解】函数的定义域为， ， 故函数的值域为且， 故答案为：且. 20．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）将代入求解即可； （2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是. （3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可. （4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域． 【详解】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 21．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题. 【详解】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 22．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解； （2）用分离常数法求解； （3）根据二次函数的性质求解； （4）利用基本不等式求解． 【详解】（1）设，则，所以， 根据二次函数的图象和性质，函数的值域为. （2）函数的定义域为，， 所以函数的值域为. （3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增， 所以函数的值域为. （4），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为. 23．(1) (2) (3) (4) (5)． 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）函数可化为，由分式的性质即可求值域； （2）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在定义域上有解，结合判别式即可求值域； （3）函数可化为，讨论，结合基本不等式求值域即可； （4）利用根式、二次函数的性质求值域； （5）分类讨论，去绝对值，转化为一次函数求值域. 【详解】（1），定义域为， 所以其值域为． （2）由表达式知：定义域为，函数可转化为在上有解， ∴当，即时，显然成立； 当时，，整理得，解得且． 综上，函数的值域为． （3）由表达式知，定义域为，而， ∴当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上，函数的值域为． （4）由，知函数的定义域为，而， ∴，∴函数的值域为． （5）∵，∴当时，； 当时，；当时，， ∴函数的值域为． 24．(1)， (2) (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】函数方程组法求解析式、零点存在性定理的应用、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【详解】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数 所以，又因为①， 所以②， 有①②可知， ，. （2）令，由（1）知，， 又因为，令，所以 所以， 函数在上的值域为， 所以，故, 当时，得，又因为，所以 （3）由（1）知，所以 与曲线总存在公共点， 即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立. 当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 25．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域. 【详解】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    26．(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 27．(1) (2) (3) (4)） (5). 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】先求出各函数的定义域，再根据函数的表达式的特点判断函数的类型，选择适当的方法分别求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，，， 所以该函数的值域为． （2）函数的定义域为R，因为，所以该函数的值域为. （3）函数的定义域为，，所以该函数的值域为. （4），显然，所以y≠2. 故函数的值域为. （5）令，则，    所以， 由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为. 28．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）函数解析式分离常数法即可求其值域； （2）作二次函数在[1，5)之间的图像，数形结合即可求其值域； （3）利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域. 【详解】（1）， 显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为． （2），因为， 如图所示： 所以所求函数的值域为． （3）函数的定义域为， 令，则， ，因为，所以. 故函数的值域为. 29．(1)且； (2). 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域 【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域； (2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②. 【详解】(1)要使函数有意义，需满足 ，即，解得且. 所以函数的定义域为且. (2)①：， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； ②：，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为. 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果. 【详解】（1）由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． （2）由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，，设，，则有，，令，， ，由基本不等式知，，当且仅当时， 有最大值1，∴ 综上，实数a的取值范围为． 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、求解析式中的参数值 【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式； （2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案. 【详解】（1）解：因为函数过点， 即， 解得， 故； （2）因为是复合函数，设，， ，在区间单调递增，单调递增， 故函数在区间上单调递增，， 由题意对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，只需即可， 因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线， 故在单调递减， 故， 故. 答案第24页，共25页 答案第14页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$