12.求函数值域（判别式法）-高中数学全部题型大总结（全国版）

12.求函数值域（判别式法） 1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高二下·内蒙古·阶段练习）函数的值域是 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，以下说法正确的有（    ） A．若的定义域是，则 B．若的定义域是R，则 C．若在R上的值域是，则 D．的值域不可能是R 6．（2023·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是 . 7．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ． 8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 9．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 10．（21-22高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是 . 11．（22-23高一上·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 12．（2020高一·上海·专题练习）求函数的值域 ． 13．（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）函数的值域是 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，则的最小值是 ． 15．（22-23高三上·陕西·阶段练习）函数的值域是 . 16．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数的值域为，则的值为 . 17．（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 18．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 19．（22-23高三·全国·中职高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域． 20．（22-23高三·全国·对口高考）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9). 21．（22-23高三·全国·对口高考）求下列函数的最值与值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，函数． (1)求的取值范围； (2)若对于任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围； (3)若关于的不等式在存在解集，求整数m的最大值． 24．（22-23高一上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)当时，最小值为，求实数的值； (2)对任意实数与任意，恒成立，求的取值范围. 25．（20-21高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2） 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C B B CD 1．D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 2．C 【难度】0.65 【知识点】判别式法求最值 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 3．B 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【解析】由可得，当时，由 ，解得，从而得到答案． 【详解】因为，所以， 整理得 当时，上式不成立，故 当时， ，解得 故选B. 【点睛】本题考查求函数的值域，属于一般题． 4．B 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】设，，.根据已知得出点的轨迹方程为.然后表示出，平方根据以及之间的关系，化简可得.根据圆的范围得出的范围，研究的二次函数，即可得出.令，根据判别式法得出的范围，结合的范围检验，即可得出答案. 【详解】根据题意，， 设，，. 由，可得, 所以，点的轨迹方程为. 因为， 所以，， 所以，. 又， 所以有. 因为， 所以， 所以，，关于的二次函数开口向上， 则当时，有最小值， 所以，. 令，整理可得， 由可得，， 解得或. 当时，有，化简可得， 所以，，不在范围之内，舍去； 当时，有，化简可得， 所以，. 且当时，有， 所以，. 又，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将放到坐标系中，将已知条件转化为坐标关系，进而根据坐标研究. 5．CD 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】对AB，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D，根据的值域为R则的值域包含，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】对A，的定义域是，即， 若的定义域是，则开口向下，，故A错误； 对B，若，则，其定义域为R，故B错误. 对C，因为的值域是， 则的值域为， 整理可得， 则且是关于的判别式的解，而也符合该不等式， 所以是方程，即的两根， 此时由韦达定理，即，故C正确； 对D，当的值域为R则函数的值域包含，则同C，，即的解集包含. 但其关于的二次函数开口向上，解集不可能包括， 故函数的值域不包含，故D正确； 故选：CD 6． 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、判别式法求最值 【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值. 【详解】因为实数a，b满足， 所以，且. 令，则，所以， 代入，则有， 所以关于b的一元二次方程有正根， 只需，解得：. 此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得. 综上所述：. 即的最小值是（此时，解得：）. 故答案为：. 7．7或 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【详解】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 8． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 9．/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、判别式法求最值 【分析】化简式子，利用整体代入，结合基本不等式，可得结果. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 10． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】解：， 因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得： 解得： 所以函数的值域为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求值域的常见方法 单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域. 11． / / 【难度】0.65 【知识点】判别式法求最值 【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值. 【详解】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 12． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由解析式知函数的定义域为，将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为，且， ∴整理可得：，即该方程在上有解， ∴当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， ∴综上，有函数值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由解析式求函数定义域并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在上有解. 13． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域 【详解】解：， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 故答案为： 14．/ 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】思路一：引入参数，得，代入已知等式，结合方程有解即得判别式非负，由此即可得解；思路二：采用三角换元法，将所求式子最值转换为三角函数最值来做；思路三：引入参数，由圆心到直线的距离小于半径即可得解. 【详解】(解法1)令，则，代入原式化简得. 因为存在实数y，则，即，化简得，解得，故的最小值是. (解法2) ，整理得. 令，其中， 则. 因为，所以，则当，即时， 故的最小值是. (解法3)由，可得. 设， 则圆心到直线的距离，解得， 故的最小值是. 故答案为：. 15． 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由已知函数可知定义域为，转换成二次方程有根问题，利用判别式法求解即可. 【详解】解：由函数可知 所以，整理得： 当时，，符合； 当时，则关于的一元二次方程在有根 所以 整理得：且 解得：， 综上得：. 故答案为：. 16． 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值. 【详解】设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得. 综上所述，. 故答案为：. 17．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）因为，所以，再利用基本不等式求函数值域； （2）由知，整理得，再利用判别式法求函数值域即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （2）由知， 整理得， 当时，方程无解； 当时，，即． 故所求函数的值域为. 【点睛】方法点睛：基本不等式和判别式法是求值域的常见方法，也特别有效. 18．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、复合函数的值域 【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （2）令，则，利用二次函数的性质计算可得； （3）利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （4）先配方，然后利用二次函数的性质求值域即可； （5）先利用二次函数的性质求出的值域，再由指数函数的性质求值域即可； （6）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （7）利用判别式法即可求得答案. 【详解】（1）由于，且,所以可得， 因此函数的值域是. （2）令，所以，即， 当时，，即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为， 因为， 由二次函数性质可得， 所以的值域为. （4）由，可得函数的值域为，. （5）由，所以， 的值域为. （6）因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故函数的值域为. （7）由知，整理得， 当时，方程无解；当时，， 解得，故所求函数的值域为. 19．函数的定义域为R，值域是． 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、根据函数的值域求定义域 【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可. 【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得． 由此得． 根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是． 20．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、辅助角公式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用二次函数性质可求得答案； （2）令可得，结合二次函数性质求得答案； （3）利用分离常数的方法即可求得答案； （4）利用换元法再结合二次函数性质即可求得答案； （5）利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案； （6）利用分类讨论的方法可得答案； （7）利用判别式法即可求得答案； （8）利用分离参数的方法，结合基本不等式即可求得答案； （9）利用三角函数辅助角公式，结合三角函数性质，即可求得答案, 【详解】（1）因为， 故的值域为； （2）令，则， 而，则， 故， 即的值域为； （3）， 因为，故， 所以的值域为; （4）令，则， 当时，取到最大值5，无最小值， 故的值域为； （5）因为，令, 故， 由于，故， 即函数的值域为； （6）， 当时，；当时，；当时，， 故的值域为； （7）因为恒成立，故, 则由可得， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 故的值域为； （8）， 因为，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为； （9）由可得， 即， 由三角函数辅助角公式可得，（为辅助角）， 则，解得， 故函数的值域为. 21．(1)无最值，值域 (2)最小值，无最大值，值域 (3)最大值为，无最小值，值域 (4)无最值，值域 (5)无最值，值域 (6)最小值，无最大值，值域 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、对勾函数求最值 【分析】（1）求得定义域，变换为即可得出值域； （2）求得定义域，方法一：换元法，设，即可求得值域；方法二：根的判别式法，将函数转化为关于的方程，即可得出值域； （3）求得定义域，设，将函数转化为关于的二次函数，即可得出值域； （4）求得定义域，设，将函数转化为，根据基本不等式即可求得值域； （5）求得定义域，根据基本不等式及奇函数的性质，即可求得值域； （6）求得定义域，将函数转化为点到点和距离和的范围，即可得出值域． 【详解】（1）定义域：， ， 因为， 所以， 故值域为． （2）分母，所以定义域为， 方法一：设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 故值域为； 方法二：，整理得， 当时，方程为，不成立， 当时，，即，解得， 所以． （3）因为，所以，解得， 故定义域为， 设，则， 所以， 所以值域为． （4）由，得，所以定义域为， 设， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，即， 综上所述，值域为． （5）定义域为， 令，由，所以为奇函数， 当时，，即， 所以当时，， 故值域为． （6）因为， 所以表示点到点和距离和的范围， 所以， 故值域为． 22．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用分离常数法求函数值域；   （2）利用基本不等式求函数值域； （3）利用换元法和基本不等式求函数值域； （4）利用判别式法求函数值域. 【详解】（1）， 由，则，， 所以，所以， 故函数的值域为． （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故函数的值域为． （4）由知， 整理得． 当时，方程无解； 当时，，即． 故所求函数的值域为． 23．(1) (2) (3)1 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、判别式法求最值 【分析】（1）利用判别式法求值域即可得解； （2）由题意可转化为，利用函数单调性求解即可； （3）分离参数，转化为求函数的最大值，根据均值不等式求出最值即可得解. 【详解】（1），定义域为， 由， 当时，，符合题意， 当时，由，知，解得且， 综上，. （2）对于任意的，总存在，使得， 即 由（1）知， 因为是减函数， 所以当时，， 所以，解得. （3）由可得，， 分离参数可得，， 由题意，不等式在存在解集， 则 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得, 所以整数m的最大值为1. 24．(1)或 (2)或. 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出代入，变为只含有参数的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值. (2) 对任意实数与任意，恒成立，即，求出，即或在上恒成立，求解即可. 【详解】（1）当时，，所以最小值为，即或 （2）令，则，其中， 所以 . 当时，取得最小值为， 对任意实数与任意，恒成立，即， 所以或在上恒成立， 即或在上恒成立， 因为时等号成立，所以由恒成立可得， 在上递减常，所以， 由在上恒成立可得，即 综上，或. 25．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）将分式函数等价变形为一元二次方程，然后通过判别式法即可求得本题答案； （2）把平方得，通过求函数在的值域，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题，得， 整理，得， 当时，； 当时， 方程有实根，， 即，解得，或， 综上，所以值域为：. （2）易知，且. 又 ， 当时，有最大值， 当或时，有最小值0， 所以当时，易得，故的值域为. 答案第24页，共24页 答案第16页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$