10.求函数定义域（对数复合型函数）-高中数学全部题型大总结（全国版）

10.求函数定义域（对数复合型函数） 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023高一上·全国·专题练习）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 9．（2024·江西南昌·一模）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（22-23高二下·湖北·期中）函数的单调递增区间（    ） A． B． C． D． 11．（2023·浙江宁波·一模）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江金华·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列命题正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在R上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数与的图像关于直线对称 14．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 15．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B． C．当时， D．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立. 16．（2023·广东·模拟预测）已知函数，则（   ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 17．（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知函数，则(    ) A．的定义域为(0，2) B．是奇函数 C．的单调递减区间是(1，2) D．的值域为R 18．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为R B．当时，函数的值域为R C．函数有最小值的充要条件为： D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 19．（22-23高一上·北京·期末）函数的单调递减区间是 . 20．（21-22高一上·上海宝山·期中）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是 ． 21．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 22．（11-12高一上·云南玉溪·期末）若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是 ． 23．（2022高三·全国·专题练习）已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为 ． 24．（22-23高一上·北京西城·期末）函数的定义域是 ． 25．（24-25高三上·云南·阶段练习）若函数为偶函数，则 . 26．（21-22高一上·北京西城·期末）已知函数． (1)若，求a的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围． 27．（23-24高三上·新疆·期中）已知函数. (1)求的定义域及值域； (2)若，求的取值范围. 28．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)判定函数的奇偶性，并加以证明； (2)判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集. 29．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 30．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集． 31．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设函数（且，），已知，. (1)求的定义域； (2)是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 32．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B D B B A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 B B BCD AC ABD AC AC ACD 1．A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可. 【详解】由， 所以， 故， 故选：A 2．C 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 故选：C. 3．A 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、求对数型复合函数的定义域、交集的概念及运算 【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可． 【详解】函数的定义域为， 不等式，可化为或，所以， 所以，， 所以． 故选：A． 4．D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间. 【详解】函数为奇函数，的定义域为， 由，∴， 函数的定义域为， 函数在定义域内单调递增， 当时，的单调递增区间为， 所以的单调递增区间为. 故选：D． 5．B 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、求对数型复合函数的定义域、分式不等式 【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由，即，解得，故， 由，可得，即或，故， 故. 故选：B. 6．D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 7．B 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的定义域、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】化简集合A，B，根据集合的补集、交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B 8．B 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解. 【详解】由题意得， 即， 所以，， 所以，，故B项正确. 故选:B. 9．A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求对数型复合函数的定义域、基本不等式求和的最小值 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得. 【详解】由，得， 设， 由的否定为， 令，当且仅当时，又，即等号成立， 若，则， 若，则， 设，因为，所以且， 所以是的充分不必要条件 故选：A 10．A 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、复合函数的定义域 【分析】根据，结合函数的定义域，即可得出单调递增区间. 【详解】由，可得或， 所以函数的定义域为. 求导可得，当时，，由函数定义域可知，， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 11．B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域、交并补混合运算 【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解. 【详解】因为， 所以，， ， 因为，所以， 故选：B 12．B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合、，即可得解. 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即，可得， 故. 故选：B. 13．BCD 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、奇偶函数对称性的应用、反函数的性质应用、对数型复合函数的单调性 【分析】A项，由复合函数的定义域可知错误；B项分离常数转化为，逐层分析单调性可得；C项由偶函数对称性可知；D项，两函数互为反函数可知图象关于直线对称. 【详解】对于A，由，解得，或， 故函数定义域为， 由复合函数的单调性可知该函数的减区间为，故A错； 对于B，， 由于在单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在上单调递增，B正确； 对于C，当时，（即）在区间上单调递增， 又因为为偶函数，其图象关于轴对称， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，由于函数与（即）互为反函数． 所以两函数图象关于对称，D正确． 故选：BCD. 14．AC 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、由对数（型）的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值； 若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若，，即可解出不等式；即可选出答案. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确； 对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误； 对于C，因为函数在区间上为增函数， 所以当m=0时，，符合题意； 当时，，解得；所以，故C正确； 对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误. 故选：AC. 15．ABD 【难度】0.65 【知识点】复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D. 【详解】因为，所以，即恒成立， 所以函数的定义域为R，故选项A正确； ， 所以，故选项B正确； 因为， 且函数在上单调递增，又有在上单调递减， 所以在上单调递减，所以， 且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误； 记函数，由选项A知的定义域为R， 且，所以是奇函数， 因为，且函数在上单调递增， 又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以， 因为是奇函数，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减， 所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确. 故选：ABD 16．AC 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、判断或证明函数的对称性 【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断. 【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方， 即恒成立，所以的定义域为R，故A正确； 对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象， 此时对称轴为直线，故C正确； 对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误. 故选：AC 17．AC 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由对数的真数大于0得定义域判断A，根据奇函数的性质判断B，由对数型复合函数的单调性判断C，根据对数函数性质求对数型复合函数的值域判断D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，因为定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，∵在(1，2)上单调递减，而在时单调递增， ∴在(1，2)上单调递减.故C正确； 对于D，∵∴，故D错误. 故选：AC． 18．ACD 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求得当时函数的定义域判断选项A；求得当时函数的值域判断选项B；求得函数有最小值的充要条件判断选项C；求得实数的取值范围判断选项D. 【详解】选项A：当时，函数，的定义域为R.判断正确； 选项B：当时，函数， ,故函数的值域为.判断错误； 选项C：若函数有最小值， 则有最小正值，则，即. 又当时，有最小正值， 则函数有最小值. 则函数有最小值的充要条件为：.判断正确； 选项D：若在区间上单调递增， 则，解之得. 则实数的取值范围是.判断正确. 故选：ACD 19． 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 20． 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、已知函数的定义域求参数 【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围． 【详解】解：∵函数的定义域是R， ∴+ax＞0对于任意实数x恒成立， 即ax＞对于任意实数x恒成立， 当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立； 当x＞0时，则a＞＝， ∵x＞0，∴，则≥， 则≤，可得a＞； 当x＜0时，则a＜， ∵x＜0，∴，则＞1， 则＞1，可得a≤1． 综上可得，实数a的取值范围是． 故答案为：． 21． 【难度】0.65 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求的单调递增区间， 而的对称轴为， 则的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为， 故答案为： 22．(1，2) 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】分类讨论得到当时符合题意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范围即可. 【详解】令，当时，为减函数，为减函数，不合题意； 当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒 成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上. 故答案为：(1，2). 23． 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域、研究对数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件列出使函数f(log2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可. 【详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有， 解不等式可得：，即， 所以函数f(log2x)的定义域为. 故答案为： 24． 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 25．0 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】先由偶函数的性质求出参数，然后检验即可. 【详解】因为为偶函数，则，解得， 当时，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ，故此时为偶函数. 故答案为：0. 26．(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解. 【详解】（1），，即，解得， 所以a的值为 （2）为奇函数，证明如下： 由，解得：或，所以定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数； （3）因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数， 由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是 27．(1)定义域为，值域为 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）令真数大于0解不等式即可得到的定义域，将函数表达式变形结合不等式性质即可得到的值域. （2）将不等式转换为，发现在单调递减，故只需即可. 【详解】（1）令， 即，解得. 故的定义域为. ， 因为，所以， 所以. 故的值域为. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 因为为增函数，所以在上单调递减. ，即. 令函数， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减. ，则. 故的取值范围是. 28．(1)是奇函数，证明见解析 (2)在定义域上单调递增， 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）先求出的定义域并判断定义域是否关于原点对称，然后判断之间的关系即可. （2）将解析式变形，结合复合函数单调性可知在定义域上单调递增，而由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 故不等式等价于不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 由题意，解得，即的定义域关于原点对称， 且，即， 所以是奇函数. （2）由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增， 由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 所以， 因为在定义域上单调递增， 所以有，解不等式组得，即， 所以不等式的解集为. 29．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数函数最值与不等式的综合问题、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【详解】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 30．(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得. （2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. （3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式. 【详解】（1）函数中，由，解得， 所以的定义域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减， 所以的递减区间是，递增区间是. （3）由，得函数为偶函数， 由（2）知，在上单调递增，则， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集是． 31．(1) (2)存在实数符合条件，的取值范围是 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）由和求得，，得函数解析式，即可确定定义域； （2）假设存在实数，，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论. 【详解】（1）由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得，解得，或（舍），， 所以. 由得， 故的定义域为. （2）假设存在实数，，使得在区间上的值域是. 令，，则在上单调递增， 而在上单调递增，故在上单调递增， 所以，即. 令，，，则，为方程的两个不等实数根且， 令，则，即，解得. 即，，故存在实数符合条件，的取值范围是. 32．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据对数函数的最值求参数或范围、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性，结合可得出关于x的不等式组，解之即可； （2）求出函数的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出的最小值的表达式，结合a的取值范围可解得结果. 【详解】（1）不等式，即，因为， 所以，即，故不等式的解集为. （2）对于函数，由，得，即函数的定义域为， 又，设， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为，的最小值为，所以，得. 答案第20页，共21页 答案第15页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$