7.求解析式（利用奇偶性）-高中数学全部题型大总结（全国版）

7.求解析式（利用奇偶性） 1．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京朝阳·二模）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（22-23高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2022高三上·河南·专题练习）设定义在上的奇函数满足当时，，则函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·浙江丽水·期末）已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最大值是1 D．当时恒有 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是奇函数，，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（22-23高一下·广西南宁·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山西晋中·期中）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 10．（21-22高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的最小正周期为2 C．当时， D．函数在上单调递减 11．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，以下命题错误的是（    ） A．当时， B．函数有5个零点 C．若函数的图像与函数的图像有四个交点，则 D．的单调递减区间是 12．（2023·山西·模拟预测）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．的值域为 13．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 14．（2024·山东·模拟预测）已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数，则（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 15．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 16．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 17．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 18．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 19．（22-23高一上·四川南充·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 21．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 22．（20-21高二下·四川宜宾·期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1． (1)求f（x）的解析式； (2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值． 23．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 24．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 25．（22-23高一上·北京东城·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)写出当时，的解析式； (3)用定义法证明函数在上单调递减. 26．（22-23高一上·吉林辽源·期末）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)计算，； (2)求的解析式． 27．（17-18高一上·北京·期中）定义在上的奇函数，已知当时，＝. (1)求在上的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 28．（22-23高二下·江苏无锡·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求时，的解析式； (2)求不等式的解集． 29．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 30．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)求的值. 31．（22-23高一上·广东茂名·期末）设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 32．（20-21高一上·河北唐山·期末）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 33．（11-12高二下·福建泉州·期末）已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,. (1)求的解析式. (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 34．（20-21高一上·河北邯郸·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 35．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求在其定义域上的解析式，并直接指出的单调性（无需证明）； (2)求不等式的解集． 36．（22-23高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是定义在R的偶函数，且，． (1)求的解析式； (2)设，若存在，对任意的，都有，求实数t的取值范围． 37．（21-22高一上·浙江·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． （3）解不等式． 38．（22-23高一上·浙江·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若，求实数的取值范围． 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D B A D ABD BC 题号 11 12 13 14 答案 ACD BCD BD AD 1．B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求已知指数型函数的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 2．C 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围. 【详解】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下： 当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，. 故选：C. 3．C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 4．D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由周期性求函数的解析式、函数周期性的应用 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 5．D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、由奇偶性求参数 【分析】结合奇函数的特点求出时的解析式，然后利用导数的几何意义求解切线的方程. 【详解】由题意，，解得，即当时，． 当时，，所以， 此时，故所求切线的斜率为，又， 故函数在点处的切线方程为，即． 故选：D． 6．B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4.根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项. 【详解】因为函数是奇函数， 所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，； 因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，. 所以，，所以周期为4. 对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心. 因为时，， ，则，所以. 根据函数的对称性可知，，所以. 所以当时，单调递减. 又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确； 对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，故B项错误； 对于C项，由A知，当时，，所以. 又的图象关于直线对称，所以当时，有. 综上所述，当时，有. 因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确； 对于D项，由已知当时，. 又的图象关于直线对称，所以当时，. 综上所述，当时，恒成立. 因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确. 故选：B. 7．A 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、对数的运算 【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件. 【详解】由是奇函数，则，即，解得， 所以， 当时，，， ，所以是奇函数， 所以， 所以是的充要条件. 故选：A. 8．D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】先由函数是奇函数，求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围． 【详解】函数是上的奇函数，且当时，， 当时，则， 又，即，又， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 的图象如下所示：    函数在区间上单调递增， ，， 即，， ，． 故选：D． 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 10．BC 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证： 对于A：由图像可判断函数的中心对称； 对于B：利用图像变换作出函数的图象，即可判断； 对于C：直接求出解析式即可判断； 对于D：利用图像变换作出的图像，即可判断； 【详解】因为函数对任意都有， 所以，即，所以 所以，即恒成立，所以的周期为4. 因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称. 任取，则， 因为函数对任意都有，即，所以. 所以， 作出的图象如图所示： 对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误； 对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确； 对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确； 对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误. 故选：BC 11．ACD 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】对选项A，利用奇函数的性质分析判断；对选项B，解结合奇函数的性质分析判断；对选项CD，结合函数图象分析判断. 【详解】对于选项A：当时，，则， 且为奇函数，所以，故A错误； 对于选项B：当时，令，得，解得或， 即当时，两个有零点， 又因为函数是定义在上的奇函数，可知当时，也有两个零点， 又因为，所以函数共有个零点，故B正确； 对于选项C：作出函数的图象， 若函数的图像与函数的图像有四个交点，则或，故C错误. 对于选项D：由图象可知：的单调递减区间是，，故D错误； 故选：ACD. 12．BCD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断指数函数的单调性、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D. 【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以， 因为①，所以，即②， 所以由①②解得，故B正确； ，故A错误； 在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以的值域为，所以D正确. 故选：BCD. 13．BD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 当时，，，则； 当时，，，则， 综上，当时，， 因为函数是奇函数，所以， 当时，，故B正确； 对于C，由B可知，当时，，， 则； 当时，，，则， 因为函数是奇函数，所以当时，；当时，， 因为函数是奇函数，所以， 综上，不等式，其解集为，故C错误； 对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减， 因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减； 当时， 单调递增，故D正确. 故选：BD. 14．AD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性. 【详解】因为①，所以， 即②，联立①②，解得， 所以，定义域为，又， 所以是奇函数，又， 所以在上单调递增，故A，D正确，B、C错误． 故选：AD 15． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是指数函数求参数、由奇偶性求函数解析式 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以， 又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 16．27 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 而，① 所以，即，② 由①②得，所以． 故答案为：. 17． 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可； 【详解】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. （2）因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 19．(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得. （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增. （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，， ，. 经检验符合题意； （2）由（1）知. 任取、且，即，则，， 所以，， 则，所以，函数在上单调递增. （3）由（2）知， 所以对于任意的恒成立, 即对于任意的恒成立, 所以，解得或, 所以的取值范围为. 【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数. 20．(1)， (2)． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 21．(1)； (2)图象见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）利用二次函数图象，结合奇函数作出函数的图象. （3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设，则，于是， 又为奇函数，即， 所以当时，. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形， 如图为函数的图象， （3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则，于是，解得， 所以的取值范围是. 22．(1) (2)，的最小值为 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解； （2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求． 【详解】（1）若，则，则， 为偶函数，则， 故. （2）当时，，开口向上，对称轴， 当时，，函数最小值为； 当时，，函数最小值大于. 故，. 23．(1) (2) (3)． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）借助奇函数的性质即可得； （2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解； （3）结合函数单调性与奇偶性即可得. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得． 又当时，，可得； （2）当时，； 当时，，则， 又，可得时，． 所以； （3）由的解析式可得奇函数在上单调递增， 所以即为， 化为，解得， 即的取值范围是. 24．(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 25．(1)图象见解析，增区间是 (2)当时， (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据偶函数图象的对称性，作出时函数的图象，再由图象写出的增区间； （2）利用偶函数的定义求解析式即可； （3）利用单调性的定义证明即可． 【详解】（1）因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，作出时，函数的图象如图所示：    由图可知，的增区间是． （2）∵是偶函数，∴， 当时，，， 所以，当时，． （3）当时，， 设，且， ， ∵，且， ∴，则，即， ∴函数在上单调递减． 26．(1)，； (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】（1）根据奇函数的性质，，计算得到答案. （2）令，则，则，再根据奇函数性质得到解析式. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，． （2）令，则，则， 又函数是奇函数，，所以， 所以． 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数在区间内的值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式； （2）由题意可得在时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，， 所以，解得， 所以时，， 当时，， 所以， 又， 所以，， 即在上的解析式为； （2）因为时，， 所以可化为， 整理得， 令，根据指数函数单调性可得， 与都是减函数， 所以也是减函数， ， 所以， 故数的取值范围是. 28．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，，即可得出在上的解析式； （2）分、、解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，则， 当时，，则，所以，． （2）解：当时，． 当时，，可得或，解得； 当时，，可得，解得． 综上所述，不等式的解集为. 29．(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用给定值及性质求出，再验证得解. （2）利用增函数的定义推理即得. （3）由（2）的结论及已知脱去法则，再解一元二次不等式组得解. 【详解】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 30．(1)证明见解答 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值 【分析】（1）利用函数周期性的定义证明． （2）令，则，求出，再根据函数的周期性，求出答案． （3）分别求出，，，，，求出，结合函数是周期函数，进行求解即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴是周期函数，且是其一个周期． （2）令，则，∴， 又是定义在上的奇函数，即， ∴在，， ∴，那么，那么， 由于的周期是，∴， ∴当时，． （3）当时，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵是周期函数，且是其一个周期．又， ∴. 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式； （2）设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）解：为偶函数，， 又为奇函数，， ，① ，即，② 由得：，可得. （2）解：， 所以，， 令，因为函数、在上均为增函数， 故在上单调递增，则， 设，，对称轴， ①当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得：或（舍）； ②当时，在上单调递增， ，解得：，不符合题意. 综上：. 32．（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、与二次函数相关的复合函数问题、判断指数型复合函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题 【解析】（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式； （2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 所以， 所以， 可得，函数. （2）由（1）知 所以在上单调递减. 由，得， 因为函数是奇函数， 所以， 所以，整理得， 设，， 则， 当时，有最大值，最大值为. 所以，即. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 33．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数图像应用、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数为奇函数和时的解析式，得到与时的解析式，得到答案； （2）先得到函数的单调性，结合函数的奇偶性解不等式，求出对任意恒成立，故对任意恒成立，由根的判别式求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时, ， ，又函数是奇函数， ， ， 故， 又．综上所述 ； （2）为R上的单调函数，且， ∴函数在R上单调递减． ， ， 函数是奇函数， ． 又在R上单调递减， 对任意恒成立， 对任意恒成立， ， 解得：． 故实数的取值范围为． 34．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式； （2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数为定义域上的奇函数，所以， 当时，，所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以 （2）作出在区间上的图象，如图： 可得函数在上为减函数，所以的最小值为， 要使对所有，恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 则，即， 可得：， 所以实数的取值范围是. 35．(1)，在R上单调递增 (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，再根据指数函数单调性结合奇函数性质判断的单调性； （2）根据奇函数的定义结合函数单调性可得，进而结合指数函数性质运算求解. 【详解】（1）当时，则，可知， 因为是定义在R上的奇函数，可得， 所以， 因为当时，单调递增， 由奇函数性质可知：当时，单调递增， 且连续不断，所以在R上单调递增． （2）若， 因为是奇函数，则， 又因为在R上单调递增，则， 整理得，解得，则， 所以不等式的解集解集为． 36．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值、求对数函数的最值 【分析】（1）由求得，从而求得. （2）求得在区间上的最小值，对进行分类讨论，求得在区间上的最小值，根据求得的取值范围. 【详解】（1）是定义在R的偶函数， 所以，， ， 此时，满足题意， 所以， （2）依题意存在，对任意的，都有， ， 在区间上递增，在区间上的最小值为. ，开口向上，对称轴为， 当时，在上递增，最小值为， 依题意可知，则. 当时，的最小值为， 依题意可知，则. 当时，在上递减，最小值为， 依题意可知，不符合. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】利用函数的奇偶性求参数，可以利用特殊点代入法进行求解.求解二次函数在闭区间上的最值，当函数含有参数时，要对参数进行分类讨论. 37．（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、解分段函数不等式 【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式； （2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解； （3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可. 【详解】（1）设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，， （2）作出函数的图像，如图所示： 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. （3）由（1）知，解不等式， 等价于或，解得：或 综上可知，不等式的解集为 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题. 38．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围. 【详解】（1）由题意可知， ，即， ，， 又，即， ，. （2），且，有 ， ， ， ，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）因为为奇函数， 所以由，得， 又因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，故， 所以实数的取值范围是 答案第32页，共33页 答案第12页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$