6.求解析式（构造方程组法）-高中数学全部题型大总结（全国版）

6.求解析式（构造方程组法） 1．（22-23高三上·江西·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 6．（22-23高一上·天津南开·阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·广东茂名·二模）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．（21-22高一上·福建莆田·期中）若函数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 13．（22-23高一下·湖南邵阳·开学考试）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．是减函数 14．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在实数集单调递减 C． D．或 15．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 16．（2022·辽宁沈阳·三模）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D．的最小值为1 17．（2024·全国·模拟预测）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）． A．是增函数 B． C． D． 18．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 19．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 . 20．（2023高一·全国·课后作业）若函数满足方程且，则： （1） ；（2） ． 21．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，满足，则 ． 22．（21-22高一上·全国·课后作业）若，则 ． 23．（22-23高一上·山东淄博·期末）设定义在上的函数满足，则 . 24．（22-23高一上·山东临沂·期末）若定义在上的函数满足：当时，，且，则 . 25．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 26．（20-21高一·全国·单元测试）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求函数，的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 27．（2023高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知满足. (2)已知，对任意的实数x，y都有. 28．（23-24高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且． (1)分别求函数和的解析式； (2)设，，求的最小值． 29．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 30．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 31．（2024高三·全国·专题练习）（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． (4)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 32．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 33．（23-24高一上·重庆·期中）已知奇函数和偶函数满足：． (1)分别求出函数和的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)若对于任意和任意，都有成立，求实数的取值范围． 34．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知定义在上的函数满足. (1)求； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 35．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且． (1)求函数，的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求正实数a的取值范围． 36．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数. (1)求证：函数在定义域上单调递增. (2)若在区间上，；在上的图象关于点对称. （i）求函数和函数在区间上的解析式. （ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系. 37．（22-23高一上·浙江宁波·期中）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且. (1)求函数和的解析式； (2)若的最小值为，求实数的值. 38．（22-23高一上·四川凉山·期中）已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且； (1)若对任意的正实数、都有，求最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 39．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数是偶函数，是奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围; (3)设函数，若存在大于1的极小值点，求实数的取值范围. 40．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C B D B C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 A B BC AC AD ACD ABC 1．D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为①， 所以②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 2．B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 3．C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】由方程组法求得，不等式用参数分离法转化为，引入新函数，利用导数求得函数的最小值，从而得参数范围． 【详解】①， 又②， ①×2－②得， ∴．又，即，所以， 令，， 令（），则， 所以即在单调递增，，则在递增． ，∴． 故选：C． 4．C 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断、函数方程组法求解析式 【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围 【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以 将代入得： 联立 解得： ，等价于， 即：，令，则在单增 ①当时，函数的对称轴为，所以在单增 ②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得： ③当时，单增，满足题意 综上可得： 故选：C 【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到： ①函数奇偶性的应用 ②通过方程组法求解函数的解析式 ③构造新函数 ④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围 需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决 5．C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故选：C. 6．B 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：B. 7．D 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、求抽象函数的解析式、求函数值 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 8．B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的应用、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解． 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立； 综上，． 故选：B 9．C 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断或证明函数的对称性、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值. 【详解】由题设，，可得：， 由，易知：关于对称. 当时，，则， 所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大， 所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得. 故选：C 【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值. 10．A 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值. 【详解】因为函数满足 ---① 所以 ---② 联立①②，得，解得， ∴ 故选：A 11．A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】特值验证法排除CD：再分离参数将恒成立问题转化为函数最值求解可得选项. 【详解】由题意得，是偶函数，是奇函数， 且①， 则②， 由①②解得， 函数开口向上，且关于轴对称，在单调递增， 当时，不等式，即， 则对任意非零实数恒成立，即满足题意. 故排除CD. 当时，不等式， 由关于轴对称，在单调递增， 得， 即.分离参数得， 由作为一个整体参数可知所求的范围关于原点对称（可排除B）. 令，， 当且仅当，即时等号成立， 则，令，在是增函数， 则， 要使恒成立，则，则. 故选：A. 12．B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值. 【详解】由和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 故，① ，② ①+②得，故， 令，则，则， 当且仅当，即时取等， 故的最小值为1， 故选：B. 13．BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及单调性判断CD. 【详解】由， 得，两式相加得， 则， 所以，，A错误，B正确． 因为，所以（当且仅当时，等号成立）， 因为均是上的增函数，是上的增函数，C正确，D错误． 故选：BC 14．AC 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、含参指数函数的最值、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】 根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D. 【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由得：，，所以选项A正确； B，因为函数在上均为增函数， 故在上单调递增，所以选项错误； C、D，因为， 所以， 又，当，即时等号成立，， 设，对称轴， 当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得或（舍）； 当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意. 综上，所以选项C正确，错误. 故选：. 15．AD 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数方程组法求解析式、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数的定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为R， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则，， 所以 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为①， 所以②， ②得③， ①③得，， 解得，故D正确； 故选：AD. 16．ACD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、函数图象的变换、基本不等式求和的最小值 【分析】通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断. 【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得. 对于A：，故A正确； 对于B：由，，所以不可能在上单调递减，故B错误； 对于C： 为偶函数，关于轴对称，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确； 对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD 17．ABC 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】对于A：通过奇偶性得到，和原式联立列方程组求出和的解析式，观察可得的单调性；对于B：先确定的单调性，然后根据单调性和奇偶性确定大小；对于C：直接代入解析式计算验证；对于D：直接代入解析式计算验证. 【详解】因为①，所以， 根据和的奇偶性知，， 从而②，联立①②， 解得，，显然是增函数，选项A正确； 因为当时，，所以，故在上单调递增， 又为偶函数，所以，选项B正唃； ，选项C正确； ， 而，选项D错误． 故选：ABC． 18． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故答案为：. 19．2021 【难度】0.4 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法： （1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解； （2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的． 20． 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案. 【详解】令可得：，所以； 由①得，②， 联立①②可得：. 故答案为：①；②. 21．2 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、指数函数的判定与求值 【分析】用替换,再解方程组求得，可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ②×2－①，得，得. 所以，. 故答案为：2 22． 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果. 【详解】由①， 将用代替得②， 由①②得. 故答案为：. 23． 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 将换成可得：，将其代入上式可得： ， 所以， 故答案为：. 24．/ 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、由函数的周期性求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】将代入已知等式，结合正余弦函数的奇偶性可构造方程组求得，结合可化简得到；利用周期性可知所求函数值为，令即可求得结果. 【详解】当时，，； 由得：， 当时，，，； ，， 令，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够灵活应用正余弦函数的奇偶性，采用构造方程组的方式求得，利用周期性将自变量转化到的范围内即可. 25．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）将的替换为得， 联立 解得 （2）不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 26．（1），；（2）． 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果； （2）代入解析式，换元后化为对恒成立，利用基本不等式求出的最小值可得解. 【详解】（1），用代替得， 则， 解方程组得：，． （2）由题意可得对任意恒成立， 令，，因为在单调递增，故 则对恒成立 因为，当且仅当时，等号成立. 故，即实数的最大值为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用方程组法求解析式，注意定义域； （2）利用赋值法求抽象函数解析式； 【详解】（1）将代入，得， 因此，解得． （2）令，得， 所以，即． 28．(1)，； (2)． 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式； （2）求出，分、、讨论可得答案. 【详解】（1）定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得； 设二次函数， 因为的最小值为，且， 所以，解得， 可得； （2） ， 当时，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递减， 所以， 当时，所以， 所以． 29．(1)，. (2)或. 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用奇偶性求，通过解方程组法可得； （2）利用对数函数性质化简方程（去对数号），再换元设，转化为关于的方程只有一个大于0的根，然后分类讨论可得参数范围． 【详解】（1）因为，① 所以， 又因为函数为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，② 由①②得，. （2）若函数在上只有一个零点， 则在上只有一个根， 则在上只有一个根， 令， 则方程正根有且只有一个， 当，即或（舍）时，方程的根为，符合正根有且只有一个； 当且，即且，若正根有且只有一个， 则，解得：； 当时，方程的根为，符合正根有且只有一个； 综上所述：或. 30．(1)函数在R上单调递减，证明见解析. (2) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由，根据函数奇偶性列方程组求函数解析式，用定义法判断并证明函数的单调性； （2）原不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得 为上的奇函数，为上的偶函数，可得，，所以， 由，解得，， 函数定义域为R，是R上的减函数，证明如下： 任取，有，， 则，即， 函数在R上单调递减. （2）由，不等式即  ，得， 当时，，， 不等式在上恒成立，等价于在上恒成立， ， 当且仅当即时等号成立，得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：此题的不等式恒成立问题，通过分离常数，转化为求新函数最值问题，可使用函数单调性或基本不等式等方法求函数最值. 31．(1) (2)或 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、由奇偶性求函数解析式、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）解法一：利用换元法，令，表示出代入函数中化简可得函数解析式；解法二：利用配凑法求解； （2）设，根据已知条件列方程组求解即可； （3）将已知等式中的换成，得到一个方程，与已知方程联立可求出函数解析式； （4）利用奇偶函数的定义列方程，解方程可求得结果. 【详解】（1）解法一（换元法）：令（），则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （2）设，则， 所以，解得或， 所以或． （3）对任意的，有， 由，①，得，② 联立①②解得，． （4）因为函数的定义域为，为偶函数， 所以，即， 又为奇函数，所以， 即， 所以，解得. 32．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案； （2）根据倒序相加法，可得答案. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 33．(1)，； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据与的奇偶性构造方程组即可求解. （2）对的取值进行讨论，利用复合函数单调性即可求得实数的取值范围. （3）利用函数的单调性，根据不等式恒成立求解实数的取值范围. 【详解】（1）用替换条件等式中的得， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 与联立可得： ，. （2）由题， 令，则易知在单调递增， 对于， 当时，开口向上，对称轴为，则且递减的区间为， 当时，开口向下，对称轴为，则且递减的区间为， 则对于，根据复合函数单调性有： 当时，在上递减，符合题意； 当时，的单调递减区间为， 所以，解得； 当时，的单调递减区间为， 所以，解得； 综上，. （3）由题意， 令， 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以， 又因为对任意都有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，幂函数在上递增， 所以，即； 当时，幂函数在上递减， 所以，即； 综上，实数的取值范围为. 34．(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得到答案； （2）由（1）可得，利用换元法令，结合一元二次函数的单调性讨论即可. 【详解】（1）由可得， 联立， 解得. （2）由（1）可得， 令，则当时，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，由可得， 综上存在实数使得的最小值为. 35．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）由奇偶性有、，即可求解析式； （2）问题化为上恒成立，应用换元法及函数单调性求不等式右侧取值范围，即可得参数范围. 【详解】（1）因为，分别为上的偶函数和奇函数，①， 所以，即②， 联立①②可解得，. （2）不等式可化为， 因为，则，故，   设，则，故， 因为，令，则， 由，，故， 故在上是增函数，则， 又在时是增函数， 所以，则， 因为在恒成立，所以． 所以正实数a的取值范围是 36．(1)证明见解析； (2)（i），；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）令，应用作差法判断的符号，即可证单调性； （2）（i）由题设函数为奇函数，且，即可求上，再应用奇偶性、对称性求区间上的解析式； （ii）根据题设可得在上单调递减，写出的分段形式，结合二次函数性质，讨论、求的最大值关于a的函数关系. 【详解】（1）任取，使，则 ， 因为，所以，则，故 所以函数在定义域上单调递增. （2）（i）令中，则，. 令，，即且函数定义域为R， 所以函数为奇函数. 由，则， 联立两式，可得， 所以，且，而， 令，则，故； 令，则，故； 综上，， 对在的部分，存在，其中， 则，所以对均成立. （ii），化简得， 则在上单调递减，， 若，即，此时在上递减，故， 若，即，此时，， 即在定义域上单调递减，所以. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：第二问，（i）应用方程法求解析式，再应用奇偶对称性求区间上的解析式；（ii）利用已知得到在上单调递减为关键. 37．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值、根据指数函数的最值求参数、函数方程组法求解析式 【分析】(1)由已知可得，结合奇函数和偶函数的性质变形求解即可； (2)令，函数可化为关于的函数，结合二次函数性质求其最小值，列方程求的值. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数为偶函数，函数为奇函数，所以， 即， 所以，， 又，，所以或(舍)， 从而，. （2）因为，，， 所以， 令，则： 所以， 因为，当且仅当时取等号，， 所以，所以. 38．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出这两个函数的解析式，分析函数的单调性，结合奇函数的性质可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值； （2）利用复合函数法分析函数在上的单调性，可得出，可得出，结合基本不等式可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且， 则，即， 所以，，解得， 因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 由可得，则，所以，， 又因为、均为正实数，所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故有最小值. （2）解：定义域为，且函数为偶函数， 当时，令，则， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由， 因为，则， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 39．(1)，； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）由奇函数、偶函数的性质求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，利用复合函数的单调性，求出函数在此区间上的最大值，即可得答案； （3）由题意可得，求导得，令，得或，由题意可得的根必须大于1，分、求解即可. 【详解】（1）解：因为函数是偶函数，是奇函数，且， 所以，即， 由，可得， 所以，； （2）解：由题意可知：， 即在上恒成立， 因为与在上均为单调递增函数， 所以在上为单调递增函数， 所以， 所以在上恒成立， 又因为， 因为在上为单调递增函数， 所以在上为单调递减函数， 所以在上为单调递减函数， 所以， 所以， 所以，实数的取值范围； （3）解：因为 ， 所以， 令，则有或， 当时，无解， 此时函数只有一个极大值点，为，不满足题意； 当时，由，解得， 所以的两根为，， 因为存在大于1的极小值点，所以， 此时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 满足是函数的极小值点， 由，解得， 所以实数的取值范围为. 40．(1) (2)8 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，① 所以，② 由①②可解得：. （2）由题知：， ∴ （当且仅当，即时取“＝”）. ∴的最小值为8. 答案第32页，共33页 答案第13页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$