精品解析：吉林省吉林市第二十三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二A） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 3. 用配方法解方程，变形正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型． 根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， 故选：C． 4. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 5. 已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大，从而得到因变量的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大， ∵<<1， ∴，即． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 8. 已知二次函数，当______时，随的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，找到对称轴；在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性． 【详解】解：在中，， ， 开口向上， 由于函数的对称轴为， 当时，的值随着的值增大而减小； 当时，的值随着的值增大而增大． 故答案为： 9. 如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为____． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为， 故答案为：． 10. 已知的半径为4，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点在____（填“上”“内”或“外”） 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 先根据点坐标求出点到原点的距离，再判断与圆的半径的大小关系，从而得出答案． 【详解】解：∵圆心的坐标为， 又的半径， ∴原点在外， 故答案为：外． 11. 二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图像可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 【详解】解：由图知，，，， 点在第三象限． 故答案为：三． 12. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 13. 如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程，然后求解即可，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，可得， 故答案为：． 14. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，是第三象限内弧上一点，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点，能根据圆内接四边形性质求出的度数是解此题的关键． 根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为6， 故答案为． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， 即，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】首先把一元二次方程转化为一元二次方程的一般形式得到，再用十字相乘法分解因式解方程． 【详解】解：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 用十字相乘法分解因式得：， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法． 17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到． 【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）A；90 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，用SAS证明△ADE≌△ABF； （2）△ADE与△ABF的公共顶点是旋转中心，对应线段的夹角是旋转角． 【详解】解：（1） 略 （2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转90度得到． 故答案为A，90． 18. 已知二次函数顶点坐标为，且过点． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，y的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查用顶点式二次函数解析式，二次函数的性质 （1）设二次函数顶点式，把相应点代入即可求得； （2）由抛物线的开口方向及对称轴确定时，的取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为； 把代入解析式得， 解得； ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，顶点为， ∴开口向上，当时，y有最小值为； ∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出以点为旋转中心，按顺时针方向旋转后的； （2）在图中画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ； （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，以原点为中心作对称图形，解题的关键是能正确找出对应点的位置， （1）找出B、C的对应点，再连线即可； （2）以原点为中心，分别找出A、B、C的对应点连线即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案； （2）由题意根据m的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴； （2）∵且为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 21. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册． （1）求阅读公园这两个月藏书的平均增长率． （2）按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？ 【答案】（1）阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％ （2）估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册 【解析】 【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【小问1详解】 解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为20%； 【小问2详解】 （册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】（1）d，h （2） 描点，连线，画出图象如图： ； （3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【小问1详解】 解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 24. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C． （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 【答案】（1）Q的速度是点P速度的倍 （2） （3）y的最大值为 【解析】 【分析】（1）由于在中，，，，由此可以利用勾股定理求出，的长度，又两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，利用这个条件即可求解； （2）有两种情况：①当在上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当在上，利用（1）的结论求出，的长度，也就可以求出到的距离，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 而两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点， 的速度是的速度的倍； 【小问2详解】 解：设，的面积是， ①当在上， 即时，， ②当在上，过Q作于E，如图， ∵，， ∴， ∴当时，， 即：； 综上所述：y关于x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：对于 当时，； 对于 当时，， ， 当时，． 【点睛】此题这样考查了二次函数的最值和勾股定理的应用，解题时首先利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用几何图形的性质求出函数解析式，最后利用函数的最值即可解决问题． 26. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； （3）若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； （4）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 【答案】（1），直线 （2） （3）或 （4）5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移，二次函数的对称性等，解题的关键是分类讨论思想和转化思想的运用． （1）由交点式求解即可； （2）根据二次函数的对称性解题即可； （3）先求出当时，y的求值范围，再把关于的方程（为实数），在时无解问题，转化为直线与抛物线在上的图象无交点问题，进而求解即可； （4）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过，， ， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为，把代入得， ， ， 是抛物线上不同的两点， 关于对称轴直线对称， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 对称轴为直线，，， 当时，， 设直线，如图： 关于的方程，即，在时无解， 直线与抛物线在上的图象无交点， 或 ； 【小问4详解】 解：∵此抛物线沿x轴向左平移个单位长度， 平移后的解析式为， ∴对称轴为， ， ， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意， 当即时，y在上随x的增大而减小， 当时，有最小值， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二A） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，变形正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 8. 已知二次函数，当______时，随的增大而减小． 9. 如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为____． 10. 已知的半径为4，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点在____（填“上”“内”或“外”） 11. 二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 12. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 13. 如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为________． 14. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，是第三象限内弧上一点，，则的半径为________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解一元二次方程：． 16. 解方程：． 17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到． 18. 已知二次函数顶点坐标为，且过点． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当时，求y的取值范围． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出以点为旋转中心，按顺时针方向旋转后的； （2）在图中画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 21. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册． （1）求阅读公园这两个月藏书的平均增长率． （2）按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？ 22. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 24. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C． （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 26. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； （3）若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； （4）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $