上海市市西中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

市西中学2024学年第一学期期中考试 高二 数学 2024.10 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的_____垂直． 2. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 3. 课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数、棱数与面数之间具有关系：______________________ 4. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________． 5. 一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为__． 6. 已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为___________. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________. 8. 已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为___________． 9. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 11. 设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为__________. 12. 如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是________. 二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 13. 设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 下列说法错误的是（ ） A. 一个棱柱至少有5个面 B. 斜棱柱的侧面中没有矩形 C. 圆柱的母线平行于轴 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 15. 下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（ ）对异面直线． A. 72 B. 96 C. 102 D. 126 三、解答题（本大题共5题，共8+10+10+10+10=48分） 17. 如图，直线l是平面的斜线，且与平面斜交于点M， l上异于点M的一点A在平面上的射影为O，在平面内过点M作一条直线m，直线m和直线MO不重合，设直线l和直线m的夹角为θ，求证∶∠AMO < θ. 18. 已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求： ⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； ⑵四面体的体积． 19. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且. （1）求证：直线EC与平面ABD没有公共点； （2）求点C到平面BED的距离. 20. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺丝钉共重.如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为，高为；圆柱的底面半径为，高为.（取） （1）求一个六角螺丝钉的表面积； （2）问这堆螺丝钉大约有多少个？ 21. 设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． （1）时，求a的取值范围； （2）时，求a的取值范围． 市西中学2024学年第一学期期中考试 高二 数学 2024.10 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 【1题答案】 【答案】射影 【2题答案】 【答案】1 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，共8+10+10+10+10=48分） 【17题答案】 【答案】 证明：如图所示： 在平面内过O作直线m的垂线，垂足为N，连接AN， 因为AO⊥α，m⊂α，∴AO⊥m,又∵ON⊥m,ON∩AN=N,∴m⊥平面AON,∴m⊥AN. 在中，， 在中，由斜边大于直角边可得，， 在中，， ，， 由直线与平面所成角及空间两直线所成角的范围可知， ，均属于 由正弦函数在上为增函数，可得：． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接、，如图， 依题意，在中，，则， 而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且， 因为平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点； （2）1 【20题答案】 【答案】（1） （2）1295个 【21题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $