精品解析：广东省广州市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一试卷 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 8. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四组函数，其中是同一个函数的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则的值是________． 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 14. 已知是定义在上的减函数，若对于任意的，均有成立，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合． （1）分别求 （2）已知，若，求实数a的取值范围． 16. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知，函数． （1）当，判断函数在上的单调性并求其最小值； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一试卷 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集与交集的定义可求解. 【详解】因为全集，，所以， 又因为，. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“，”的否定是：，， 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项. 【详解】由题知，则同号， 当时，有， 当时，有， 故能推出， 当成立时，又， 对不等式两边同时乘以可得， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 可得，解得且， 则函数的定义域为. 故选：D. 5. 已知实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，且，则，故B正确； 对于C，若，则， 所以，故C错误； 对于D，因为，则， 所以，故D错误. 故选：B. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 7. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 8. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数在上单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】由题意，对任意实数，都有成立， 所以函数在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四组函数，其中是同一个函数的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由同一函数的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，，定义域不同，不是同一函数，故A错误； ，，定义域与对应关系都相同，是同一函数，故B正确； ，，定义域与对应关系都相同，是同一函数，故C正确； ，，定义域不同，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：BC 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个选项判断正误即可． 【详解】对于A，，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，C，由，可得，当且仅当时等号成立，故B正确，C错误； 对于D，，， ，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AB. 11. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则的值是________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 14. 已知是定义在上的减函数，若对于任意的，均有成立，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用赋值法求得，从而将不等转化为，再利用的定义域与单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由，且，得， 由得，即， 因为是定义在上的减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化为，从而得解. 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合． （1）分别求 （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义求出，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可； （2）得到，得到关于a的不等式组，解出即可． 【小问1详解】 因为，， 则， 可得或， 所以. 【小问2详解】 因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 16. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题知，是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可； （2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或, 所以，是方程的两个解，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知原不等式为， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） 当时，， 当时，； （2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时，， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 19. 已知，函数． （1）当，判断函数在上的单调性并求其最小值； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的递增区间为，递减区间为，最小值为1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将代入取消绝对值，再利用二次函数的单调性求单调区间并求最小值. （2）先根据题意取消绝对值，再对进行分类讨论，利用二次函数的性质判断单调性并求最小值. （3）根据题意构造函数，对进行分类讨论求函数的最大值，从而得实数的取值范围. 【小问1详解】 解（1）当时，， 即，， 由二次函数的单调性可知，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的递增区间为，递减区间为，. 【小问2详解】 由题可知， 当时，在上单调递减，在单调递增，则； 当时，在上递减，则. 综上所述，． 【小问3详解】 令，只需， 当，且时，，在上单调递减， ∴； 当时，，在上单调递增， ∴； 当时，，在上递减，∴. 综上可知，，所以． 故实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $