精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

五十五中学2025届高三（数学）期中学情调研 一､单选题 1. 设为全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上的点到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 函数有11个零点 9. 已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论： ①的取值范围是； ②在区间上存在，满足； ③在区间上单调递减； ④在区间有且仅有1个极大值点； 其中所有正确结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､填空题 10. 在的展开式中，的系数为______． 11. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______. 12. 已知都为正实数，则的最小值为___________． 13. 已知直线与圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的序号是______. ①直线与圆相离 ②圆关于直线对称的圆的方程为 ③若点为圆上的动点，则的取值范围为 ④过点的圆的最短弦长为 ⑤圆与圆C的公共弦所在直线方程与垂直 14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 15. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是___________. 三､解答题 16. 在中，. （1）求； （2）若，.求的面积. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 18. 已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值. 19. 已知等差数列，等比数列 （1）求的通项公式. （2），求. （3）任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求正实数的取值范围； （3）求证：当时，在上存在唯一极小值点，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十五中学2025届高三（数学）期中学情调研 一､单选题 1. 设为全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求集合B，再根据补集和交集运算求解. 【详解】因为，， 可得或，所以. 故选：D. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 3. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断,可得答案. 【详解】由题意函数，， 则，故为奇函数， 其图像关于原点对称，故A错误； 又因为，,可判断B错误， ，故错误， 只有D中图像符合题意，故D正确， 故选：D 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】，所以. 故选：B 5. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 6. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 7. 抛物线上的点到其焦点的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，进而可得A、B坐标，结合双曲线渐近线性质及列方程求双曲线参数c，即可得离心率. 【详解】由题设得，解得，故C：， 所以，渐近线为，设P、Q在上， 设直线的倾斜角为，则， 又，解得， 所以，故， 即，所以， 故选：A. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 函数有11个零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数，得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断． 【详解】因为为奇函数， 所以关于点对称，即， 因为为偶函数， 所以关于直线对称，即， 所以， 所以， 所以， 可得到周期为8， 对于A选项：因为，所以， 所以，故选项A正确； 对于B选项：因为关于直线对称，周期为8， 所以关于直线对称， 所以为偶函数，故B正确； 对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误； 对于D选项：画出函数与图象， 可知这两个图象只有11个交点， 所以函数有11个零点，故D选项正确． 故选：C． 【点睛】方法点睛：函数零点问题的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 9. 已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论： ①的取值范围是； ②在区间上存在，满足； ③在区间上单调递减； ④在区间有且仅有1个极大值点； 其中所有正确结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，令，求出的范围，根据 在区间上有且仅有2个零点可得的取值范围，从而得到的取值范围； 对于B，举例说明，验证存在性即可； 对于C，当时，求出的范围，判断是否在的减区间内； 对于D，根据条件，对应的也可能为一个极大值点. 【详解】对于A，因为，所以， 令，则 由题意，在上有且仅有两个解和， 所，解得，所以A正确； 对于B，因为在上有成立， 所以在上存在，满足，所以B正确； 对于C，当时，，由于， 故，此时是增函数， 从而在上单调递增，所以C不正确； 对于D，对应的一定是极大值点， 所以对应的值有可能在上，所以D不正确； 故选：B. 二､填空题 10. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为． 故答案为：. 11. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【详解】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 12. 已知都为正实数，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，由基本不等式得，再代入原式得，判断相等条件后即可得最小值. 【详解】，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为. 故答案为： 【点睛】解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小值. 13. 已知直线与圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的序号是______. ①直线与圆相离 ②圆关于直线对称的圆的方程为 ③若点为圆上的动点，则的取值范围为 ④过点的圆的最短弦长为 ⑤圆与圆C的公共弦所在直线方程与垂直 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解判断①②③；利用圆的性质求出最短弦长判断④；利用相交两圆的性质求解判断⑤. 【详解】对于①，圆的圆心，半径为， 点到直线的距离为，直线l与圆C相离，①正确； 对于②，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为，则， 解得，所求圆的圆心为，圆C关于直线l对称的圆的方程为，②错误； 对于③，圆上的点Q到直线的最小距离为，的取值范围为，③正确； 对于④，点在圆内，它到圆心的距离， 所以过点的圆的最短弦长为，④正确； 对于⑤，圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，直线为圆与圆的公共弦垂直， 而，的斜率为， 所以线与不平行，则公共弦所在直线方程与不垂直，⑤错误， 所以正确的序号是①③④. 故答案为：①③④ 14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由全概率公式求解可得. 【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”， 事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”， “居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，，， 且，， 由全概率公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. 故答案为：. 15. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，先求出的图像，再设，，得到， 可整理出复合函数，令，得到，再通过，与的交点情况，求出的范围，进而求出的范围. 【详解】根据题意，对于， 求导，则时，，单调递增；时，，单调递减；可得时，有最大值，且时，恒有， 故可画出的图像， 令，则，令 故， 令， 此时，参变分离可得，， 作出的图像，明显为对勾函数， 故只需求出满足题意时的范围，即可根据等量代换，得到的范围. 对于，当只有一个根满足时，令，此时， 如图， 此时，满足有3个零点，此时，明显地，当时， 此时满足唯一的，故对于对勾函数：，； 又，当有两个根和满足时，要满足有3个零点，则如图 或如图， 此时，必有，或 对应的对勾函数图为： ，或 如图，因为交点不存在，必有对应的，或，三种情况，故关键是要有对应的两个与之对应，取，故对于，有， 对于或，，可得，或， 故且或，其交集为； 综上所述，. 故答案为： 三､解答题 16. 在中，. （1）求； （2）若，.求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理即可求解； （2）由，求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由， 则， 又，则. 【小问2详解】 由，则， 又，且由（1）知 则， 又，即，解得， 则. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明如下： 证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，， ，，，， 又因为，分别为和的中点，得，． 可得为平面的法向量，， 由此可得， 又因为直线平面，所以平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设为平面的法向量，则，即 不妨设，可得． 设为平面的法向量，则， 又，得， 不妨设，可得． 因此有， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，可设，其中， 则，从而， 又为平面的法向量， 由已知，得， 整理得， 又因为，解得， 所以，线段的长为． 【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18. 已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； （Ⅱ）由题意得到直线AM,BM的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F的坐标结合题意即可得到关于m的方程，解方程即可确定m的值. 【详解】（Ⅰ）由题意可得：，解得：， 椭圆的方程为 . （Ⅱ）且， ∴直线的斜率为，直线的斜率为， ∴直线的方程为，直线的方程为，由得， ∴， ∴. 由得， ∴， ∴. ∵，， ， ∴， ∴ ∴ ∵，且 ∴整理方程得， ∴为所求. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知等差数列，等比数列 （1）求的通项公式. （2），求. （3）任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 【答案】（1）；. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求解基本量首项与公差、公比可得通项公式； （2）根据数列特点分组求和，一组裂项相消法求解，另一组用错位相减法可得； （3）根据题意确定新数列第项位置，再按原等比数列项与插入项分两组分别求和可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，解得， 所以，则； 由，得， 则，解得，则. 故的通项公式为；的通项公式为. 【小问2详解】 当为奇数时， ； 当为偶数时， . 则 ； 设， 则， 两式相减得， ， 则， . 故. 【小问3详解】 设新数列中是第项， 由题意，在之前插入依次插入个数， 再加上原数列共项， 可得， 则新数列中是第项，是第项.. 由， 故第项在之间插入的数中，即， 即新数列前项中，从第项到这一项共项， 则与之间还有项， 则新数列前项中原等比数列的各项之和为 . 新数列前项中所有插入项之和为 . 下面先求数列的前项和. ①当为偶数时，则，都为奇数， 因为， 则 ， 所以新数列前项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前项的和； ②当为奇数时，则为偶数，为奇数， 则数列前项和即为前项之和减去第项， 则 ， 所以新数列前项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前项的和； 综上所述，这个新数列前项的和. 【点睛】关键点点睛：解决本题目关键在于两点，一是第（2）问中通分逆用，裂项后求和；二是第（3）问中注意条件的转化，借助项数确定新数列第项的位置. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求正实数的取值范围； （3）求证：当时，在上存在唯一极小值点，且 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，，定义域为，求导得， 当时，，在上单调递增，无极值点， 当时，令，求导得，函数在上单调递增， 而，， 则存在，使得，即， 由，得，由，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数极小值是，而， 即，则， 所以在上存在唯一极小值点，且. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出值. （2）求导后转化为导数的恒成立问题，再分离参数求解即可. （3）利用零点存在性定理求出导函数零点，进而确定原函数极值点，转化为三角函数求范围即可. 【小问1详解】 函数，求导得，， 由切线方程为，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由函数在上单调递增， 得在上恒成立，而当时，由，得恒成立， 则当时，，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，而，所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题求导数极值范围，确定的极值点所在区间，借助隐零点法是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $