精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为________. 2. 函数的定义域为______ 3. 若直线与垂直，则实数m＝__． 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 5. 等比数列满足，，则________. 6. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是________. 7. 二项式的展开式的常数项是________． 8. 已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则________. 9. 如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是________. 10. 已知，函数的部分图像如图所示，已知点A、为的图像与轴的交点，其中，点、分别为的图像的最高点和最低点，且，则________. 11. 已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为______. 12. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 15. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ） A. ①与②都是真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①与②都是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18. 已知. （1）是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由； （2）写出函数的一个周期，并求函数的值域. 19. 2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元. （1）设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望； （2）求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率； （3）公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表. 年龄低于45岁 6 14 42 31 7 年龄不低于45岁 4 6 47 35 8 根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？ 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 附：，，，与的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 20. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 21. 函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. （1）已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； （2）已知，函数是上的绝对增函数，求的值； （3）函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据除法运算可得，进而可得虚部. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故答案为：. 2. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式可得不等式组解不等式组，即可得答案； 【详解】， 故答案为：. 3. 若直线与垂直，则实数m＝__． 【答案】6 【解析】 【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m的值． 【详解】由直线且斜率存在，则直线， 由直线与垂直，则解得. 故答案为：6． 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，显然， 若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5. 等比数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出值，再由无穷递缩等比数列的求和公式计算． 【详解】，则，即，即， 因为，则， ∴． 故答案为：. 6. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是________. 【答案】50 【解析】 【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果. 【详解】因为，可知这组数据的第75百分位数是第23位数， 结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50. 故答案为：50. 7. 二项式的展开式的常数项是________． 【答案】112 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令即可得到答案. 【详解】二项式展开式的通项为，令， 得，所以. 故答案为：112. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到求展开式中的特殊项，只需准确写出通项公式即可. 8. 已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】先将曲线C：转化为，，利用导数求出曲线在点处的切线斜率，得切线的方程及在轴、轴上的截距，化简即得结果. 【详解】因为在曲线上，则 由得， 平方，得， ，, ∴曲线在点处的切线：， 令， 令，，则， ，， ∴ ∴. 故答案为：1. 9. 如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定球心，再求球心到顶点的距离，即可求得外接球的半径，再代入球的表面积公式. 【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为， 所以这个十面体的外接球的半径为，从而其表面积. 故答案为： 10. 已知，函数的部分图像如图所示，已知点A、为的图像与轴的交点，其中，点、分别为的图像的最高点和最低点，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点即可得． 【详解】因为，且，可知的最小正周期， 所以， 所以． 所以，化简得． 又，所以， 又因为是递减区间内的零点， 则，解得． 因为，所以． 故答案为：. 11. 已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，整理可得，换元令，构建，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解. 【详解】显然， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆，椭圆， 则有①，由极线的定义得直线的方程为 ， 由原点到直线的距离公式，化简可得②， 对比①②可得，所以， 所以， 当且仅当时，即“”成立. 故答案为： 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误； 对于选项B：利用，满足，但，故B错误； 对于选项C：因为， 且，、是非零实数，则， 可得，即，故C正确； 故选：C. 14. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 15. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ） A. ①与②都是真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①与②都是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可. 【详解】对于①：因为数列、均为等差数列， 设，则， 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 若，可知的符号不变，不满足交错数列； 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确； 对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为 不妨假设，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 同理若，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直； （2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 已知. （1）是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由； （2）写出函数的一个周期，并求函数的值域. 【答案】（1）存在，（满足即可） （2）一个周期为（满足即可）；值域为 【解析】 【分析】（1）根据题意利用诱导公式可得，即可得结果； （2）根据题意利用诱导公式可得，即可得周期，再结合对称性取，取绝对值化简整理，结合正弦函数值域分析求解即可. 【小问1详解】 对任意，则 ， 可得，例如，可得， 【小问2详解】 因为， 可知函数的一个周期为， 若求函数的值域，则取即可， 由（1）可知：，即关于对称， 若求函数的值域，则取即可，此时， 则， 因为，则，可得， 即所以函数的值域. 19. 2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元. （1）设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望； （2）求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率； （3）公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表. 年龄低于45岁 6 14 42 31 7 年龄不低于45岁 4 6 47 35 8 根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？ 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 附：，，，与的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 【答案】（1） 的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 元 （2）0.8192 （3）列联表可得： 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 80 20 100 年龄不低于45岁 90 10 100 合计 30 170 200 居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为，结合独立事件概率求法求分布列，进而可得期望； （2）设相应随机变量，分析可知，根据题意可得，结合二项分布运算求解即可； （3）完善列联表，求，并与临界值对比分析即可. 【小问1详解】 由题意可知：A和烧制成功率分别为0.8和0.9， 随机变量的可能取值为，则有： ， ， 所以随机变量的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 随机变量的期望（元）. 【小问2详解】 设烧制4个A成功的件数为，则， 设烧制4个A所得的利润为，则， 令，解得， 所以. 【小问3详解】 根据题意完善列联表可得： 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 80 20 100 年龄不低于45岁 90 10 100 合计 30 170 200 零假设：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联， 则， 依据显著性水平的独立性检验，可知零假设不成立， 所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联. 20. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案. （2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积； （3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【小问1详解】 依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或， 所以的面积. 【小问3详解】 由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则， 因为三点共线，则， 可得，则， 可得， 则，可得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. （1）已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； （2）已知，函数是上的绝对增函数，求的值； （3）函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 【答案】（1）函数是上的绝对增函数，理由如下： 因为，则，可得， 且，则，可得， 所以函数是上的绝对增函数. （2） （3）证明：显然，均在上连续不断， 若函数是上的绝对增函数，则恒成立， 又因为函数在上有唯一的零点， 可知函数，均在上至多有一个零点，且必有一个函数有零点， 先证：在上有唯一的零点， 假设在上没有零点，则在上有唯一的零点， 可知（或）恒成立， 不妨设恒成立，则恒成立， 可知在上单调递增， 当是，，两者相矛盾； 所以假设不成立，即在上有唯一的零点； 再证：是函数的极值点， 假设不是函数的极值点， 则存在，使得，且在上为单调函数， 不妨设在上单调递增， 当时，， 可知在上单调递减，且，则； 当时，， 可知在上单调递增，且，则； 两者相矛盾，假设不成立，所以是函数的极值点. 【解析】 【分析】（1）求导，根据绝对增函数的定义分析判断即可； （2）求导，根据题意可得在内恒成立，结合正弦函数性质分析求解； （3）利用反证法，先证在上有唯一的零点，在结合导数与单调性之间的关系证明结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 可得， 若函数是上的绝对增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 因为，则， 令，解得， 可得，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于（3）利用反证思想证明问题，对于直接说明比较麻烦时，可以利用反证思想说明问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $