精品解析：山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

青岛二中2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题 命题人：程志 刘硕 宋子晨 审核人：程志 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，集合，，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 4 D. 5. “”是函数“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函整的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ） A. 的值域为 B. 对任意，都有 C. 存在无理数，对任意，都有 D. 若，，则有 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最小值是 D. 当时，若，的值域是，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________. 13. 已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则在上的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）求； （2）集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）若，且，求出的解析式； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）设，解不等式. 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题 命题人：程志 刘硕 宋子晨 审核人：程志 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 2. 若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 故选：D 4. 已知函数，集合，，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定的值，再代入计算求出函数值. 【详解】由，则或，则或， 当时，，不满足， 当时，，满足，因此， 所以. 故选：A 5. “”是函数“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调区间求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在区间上单调递增，得，解得， 显然能推出，反之不能推出， 所以“”是函数“在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知函整的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和分式特点即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则定义域为. 故选：C. 7. 已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值. 【详解】函数定义域为， 而，则函数的图象关于点对称， 由函数是定义在上的奇函数，得， 即，则函数的图象关于点对称， 因此函数与的图象的交点关于点对称， 则， 所以. 故选：A 8. 定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AD，根据单调性比较大小判断C，根据奇偶性判断D. 【详解】对于任意，，所以，即，所以在上单调递增，故选项A错误； 因为的定义域为，所以，所以为奇函数，由在上单调递增，所以，故选项BC错误； 对于任意，， 因为，，所以， 所以，所以在上单调递增，故选项D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断ACD选项正确；用特殊值得到B选项错误. 【详解】∵，∴，∴，故A选项正确； 当，时，，，∵，∴，故B选项不正确； ∵，∴，∴，即，C选项正确； ∵，∴，，∴，则， 即，则，∴D选项正确. 故选：ACD. 10. 定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ） A. 的值域为 B. 对任意，都有 C. 存在无理数，对任意，都有 D. 若，，则有 【答案】BD 【解析】 【分析】由元素与常见集合的关系以及题目中的函数的定义即可判断各个选项. 【详解】因为实数分为有理数和无理数，所以由定义可知的值域为，故A 选项错误； 当时，，当时，，故，故B选项正确； 因为有理数加无理数一定为无理数，所以不存在无理数，对任意，都有，故C选择错误； 因为，则，因为，所以，所以D选择正确. 故选：BD 11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最小值是 D. 当时，若，的值域是，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，代入分析判断A；解不等式判断B；利用均值不等式计算判断C；探讨二次函数值域判断D. 【详解】由题意可知：是关于x的方程的二根，且， 则，可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：不等式化为：， 由可得，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项C：因为，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，而，故等号不成立，故C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当时，取到最大值， 因为，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得或， 因此，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据的图象关于轴对称，则为偶数.条件，得到函数在上单调递增，则.结合分类讨论即可. 【详解】的图象关于轴对称，则为偶数时. 又因，则函数在上单调递增，则，解得. 又因为，则，，. 对于，因为函数为偶函数. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 当时，为偶数，函数为偶函数，符合题意. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 故答案为：2. 13. 已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，作出函数的图象，结合图象求出的范围. 【详解】由，即，则或， 解得或，由，解得或， 令，则， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：. 14. 已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则在上的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】令求出，再由可求出，从而可求出函数解析式，然后利用基本不等式可求出在上的最小值. 【详解】解：因为对任意非零实数x，均有， 所以，解得， 所以，解得， 所以， 所以，当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 即在上的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）求； （2）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据根号下大于等于0得到不等式组，解出集合，再解出绝对值不等式得到集合，最后根据并集含义即可； （2）求出，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以或， 所以或. 因为集合，所以或或， 所以或，或. 【小问2详解】 因为集合或， 所以，又因为， ①当时，可得; ②当时，可得. 综上，. 16. 已知函数，. （1）若，且，求出的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）把代入，利用方程组的方法求出的解析式. （2）分段解含参数的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则，， 联立解得，所以的解析式为. 【小问2详解】 不等式， 当时，，解得； 当时，不等式无解； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为。 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）设，解不等式. 【答案】（1） （2）在上的单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用求出值，再检验即可； （2）利用定义法设点、作差、因式分解，最后判断符号即可； （3）根据其奇偶性和单调性得到，解出即可. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以. 此时，定义域为关于原点对称， 又因为，则此时为奇函数，符合题意. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 且， ， 因为， 所以， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为函数在上单调递增，， 所以当时，;当时，. 因为，所以是上的偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增.， 解得.所以解集为. 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 【答案】（1）2秒 （2）20米/秒 【解析】 【分析】（1）根据条件可写出函数关系式，再结合基本（均值）不等式求函数的最小值. （2）把问题转化为恒成立问题，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 所以 当时，， ． 当且仅当时即时，等号成立. 答：此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒. 【小问2详解】 根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得． 所以，即， 解得．所以． 答：汽车的行驶速度应限制在米/秒. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 函数在上单调递增， 若是在的保值区间，则， 是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间. （3）3. 【解析】 【分析】（1）由函数最小值确定的范围，再借助单调性建立方程，求出“保值”区间. （2）假定存在“保值”区间，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可. （3）由“保值”区间的定义建立方程，再利用韦达定理结合二次函数最值求解即得. 【小问1详解】 函数在R上的值域为，令在的值域为， 则，函数在上单调递增，因此，而，解得， 所以函数的所有“保值”区间为. 【小问2详解】 函数不存在“保值”区间，理由略； 【小问3详解】 函数在上单调递增， 依题意，，是方程同号的两个不等实根， 即是关于的方程同号的两个不等实根， ，解得或，于是， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时，的值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $