上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

格致中学二○二四学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示，昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. “一个点和一条直线确定一个平面”是__________命题.（填“真”、“假”） 2. 已知数列的前n项和，则其通项______. 3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则______.（用、、的线性组合表示） 4. 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________. 5. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 6. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为__________. 7. 若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为__________. 8. 设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 9. 在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余______元.（精确到1元） 10. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是__________（填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 11. 在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 12. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14小题3分，第15、16小题4分，满分14分） 13. 数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合 15. 给出下列命题，其中真命题的个数是（ ） （a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥. （b）若三棱锥的顶点到的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心. （c）若，且，则四点共面. （d）直线l与平面所成角为，平面经过直线l，设与所成的锐二面角大小为，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（ ）个. A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和的组合图，将直角梯形沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点 在线段 上，且在几何体中，解决下面问题. （1）证明：平面； （2）若平面平面 ，证明：. 18. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1）求球的体积； （2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）求二面角的大小. 20. 在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… （1）完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 （2）证明：是严格减数列； （3）设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 格致中学二○二四学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示，昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】假 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】32000 【10题答案】 【答案】①②④ 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】## 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14小题3分，第15、16小题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接 与 相交于 ,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面， （2）证明：过 作交 于 ，由于平面平面 ，且两平面交线为 ，平面 ， 所以平面，平面,故 ， 又四边形为直角梯形，故, 是平面 内的两相交直线，所以平面 ， 平面 ，故. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：因为棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 又因为，点的曲率为， 所以， 解得， 又因为， 所以是边长为2的正三角形， 又因为是的中点， 所以①， 又因为平面平面②， 平面平面，平面③， 由①②③可得：平面； （2）； （3） 【20题答案】 【答案】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明:由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $