精品解析：福建省莆田市莆田锦江中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

莆田锦江中学2024-2025学年（上）期中考试卷 高三数学 出卷人：吴奇芳 审核人：蔡文龙 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 3. 将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 60种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘. 【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 4. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集. 【详解】因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 5. 已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后，两点间的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化平面坐标为空间坐标，利用空间距离公式求解即可 【详解】在平面直角坐标系中，，，将直角坐标平面沿轴折成直二面角，如下图， 线段在轴上，， 且，， 由且都在面内，则面， 而面，故， 则，两点间的距离为：． 故选：D 6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 7. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及函数值即可判断. 【详解】由可得函数定义域为 ，所以函数为奇函数， 当时，，此时，所以， 综上只有C符合. 故选：C 8. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得. 【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 参赛成绩的众数约为75分 B. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C. 参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D. 参赛成绩的平均分约为72.8分 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由频率分布直方图的最高小长方形中点值即可得解；对于B，由分数在内的频率和样本容量可求解；对于C，根据频率分布直方图的数据结合百分位数的定义和求解步骤计算求解即可；对于D，根据频率分布直方图中的平均数定义的求解方法即可计算得解. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得众数为，故A正确； 对于B：由频率分布直方图可得内应抽取人，故B错误； 对于C：分数在）内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确； 对于D：平均数为，故D错误. 故选：AC. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出和4是方程的两根，且，利用根与系数的关系，得出，，代入，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B选项，易知，故， 由基本不等式知，等号不成立，故B错误；  对于C选项，易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； D选项，关于x的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且， 由根与系数的关系知，， 所以，， 所以关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数， 所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得； 当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意， 综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 的图象关于点对称 C. 有2个零点 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D． 【详解】A．函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极大值点，故A正确； B．， 所以的图象关于点对称，故B错误； C．，易知，的单调性一致，而， 故有2个零点，故C正确； D．当时，，而在上单调递增，故，故D错误． 故选：AC． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由，代入解析式即可求解. 【详解】由，则， 故答案为：. 13. 一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为. 故答案为：18 14. 已知函数，若函数的定义域为或，则_________；若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集来确定二次项系数的正负和根，即可求出的值，利用二次函数的单调性和定义域，可以确定的取值范围. 【详解】①由题意得，由它的解集为或， 可得，且1是方程的一个根， 即，解得， 由根与系数关系得，所以； ②当时，函数在上单调递增， 所以，解得：， 当时，，不符合题意， 综上，，故a的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间以及极值； （2）根据单调性、区间端点的函数值求得函数在上的最小值. 【小问1详解】 的定义域是， 依题意，，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为，而，， 可知，故函数在上的最小值为2. 16. 设函数. （1）解方程； （2）设不等式的解集为，求函数的值域. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）化简，由解得可得答案； （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. 【小问1详解】 ， 由得，解得或， 所以或. 所以方程的解是或； 【小问2详解】 由得，即，解得，， ， 令，所以， 则为开口向上对称轴为的抛物线， 因为，所以， 所以函数的值域为. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明：菱形中，则为等边三角形， 又O是AC的中点，则， 又平面ABC⊥平面，平面平面，平面， 平面，又面，则面面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理证结论； （2）构建空间直角坐标系，根据面面角的余弦值求，再由柱体体积公式求体积. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，又，O是AC的中点，则， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，设，则，，， 所以，，， 设平面法向量， 则， 令，，得， 设平面法向量，则， 令，，可得， 所以，由，解得， ，， 三棱柱的体积为. 18. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. （1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； （3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【答案】（1），平均时间为小时 （2） 期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可； （2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望； （3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，解得， 所以平均数为 . 【小问2详解】 这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 19. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由题意及（2）知， 存在不同的， 使得， 不妨设， 则，. 设，则， 当时，，在上恒成立， 当时，单调递减，， 即. ， 在上单调递增，， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数求出函数的最小值，由题意只需最小值小于0即可得出的取值范围； （3）构造函数，利用导数得出单调性可得，即可由及的单调性得证. 【小问1详解】 若， ，又， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 设，则. 令， 得， 在上，， 在上，， 在上单调递减， 在上单调递增， . 又当或时，， 要使有两个零点， 只需， 解得， 的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在证明第三问中，根据题意构造函数，利用单调性得出，再由的单调性即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2024-2025学年（上）期中考试卷 高三数学 出卷人：吴奇芳 审核人：蔡文龙 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 60种 D. 180种 4. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后，两点间的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 参赛成绩的众数约为75分 B. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C. 参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D. 参赛成绩的平均分约为72.8分 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 的图象关于点对称 C. 有2个零点 D. 当时， 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则________. 13. 一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 14. 已知函数，若函数的定义域为或，则_________；若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 设函数. （1）解方程； （2）设不等式的解集为，求函数的值域. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 18. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. （1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； （3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 19. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $