5.4统计与概率的应用练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．4　统计与概率的应用 必备知识基础练　 1．(5分)从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任选m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩(　　) A．人 B．人 C．(k＋m－n)人 D．(k＋m－n)人 2．(5分)一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为(　　) A．0.81 B．0.82 C．0.90 D．0.91 3．(5分)有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为(　　) ①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多． A．1 B．2 C．3 D．4 4．(5分)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输．这个规则是________的(填“公平”或“不公平”). 5．(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只． 6．(10分)某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)①根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率； ②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由； (2)该公司决定从月销售额为[22，24)和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率． 关键能力综合练 7.(5分)某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车．某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 8．(6分)(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　) A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜 D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 9．(6分)(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确命题为(　　) A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件 10．(5分)为了估计水库中鱼的尾数，可以先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有40尾带有记号的鱼．根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为________. 11．(5分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，规则如下：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？________．(答案不唯一) 12．(10分)某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下： 等待时间/min [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1 (1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值s； (2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？ 核心素养升级练 13.(13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%～55%，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%～b%时记为区间[a，b). 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率； (2)从区间[15，35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35)的概率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组．(只需写出结论) 14．(15分)鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量(单位：g)都在[500，1 000]之间，这些鱼的质量按照[500，600)，[600，700)，[700，800)，[800，900)，[900，1 000]分组得到频率分布直方图如下： (1)求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值； (2)根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案： 方案一：不论鱼的大小统一定价为每100 g 10元； 方案二：质量小于700 g的鱼，每100 g 8元；质量在[700，800)(g)之间的鱼，每100 g 12元；质量不小于800 g的鱼，每100 g 10元．方案二需要付分拣费：每100条鱼50元． 请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案． 注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表． 参考答案 必备知识基础练　 1．(5分)从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任选m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩(　　) A．人 B．人 C．(k＋m－n)人 D．(k＋m－n)人 答案：B 解析：设一共有x个小孩，根据概率的意义，有≈，所以x≈. 2．(5分)一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为(　　) A．0.81 B．0.82 C．0.90 D．0.91 答案：B 解析：∵一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，∴检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是0.9×0.9＋0.1×0.1＝0.82.故选B. 3．(5分)有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为(　　) ①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多．所以①不正确，②③④正确． 4．(5分)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输．这个规则是________的(填“公平”或“不公平”). 答案：不公平 解析：方法一　把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色．游戏所有的结果可以用如图所示： 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为＝. 因此，这个游戏不公平． 方法二　把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片． 考虑乙抽取到卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平． 5．(5分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只． 答案：1 500 解析：设保护区中天鹅的数量约为n，将n的估计值记作.假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝. 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知，P(A)≈. 则≈，解得n≈1 500， 即＝1 500. 所以估计该自然保护区中约有天鹅1 500只． 6．(10分)某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)①根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率； ②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由； (2)该公司决定从月销售额为[22，24)和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率． 解析：(1)①月销售额在[14，16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12. ②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据题图所示的频率分布直方图知，[12，14)和[14，16)两组的频率之和为0.18， 故估计月销售额目标应定为16＋×2＝17万元． (2)根据频率分布直方图可知，月销售额为[22，24)和[24，26]的频率分别为0.04，0.04，则月销售额在[22，24)内的有2人，分别记为A1，A2，月销售额在[24，26]内的有2人，分别记为B1，B2，则不同的选择有：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一个小组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率P＝＝. 关键能力综合练 7.(5分)某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车．某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，共6种情况．若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况适合条件．所以王先生乘上上等车的概率P＝＝. 8．(6分)(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　) A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜 D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 答案：ACD 解析：A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意． 9．(6分)(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确命题为(　　) A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件 答案：ABD 解析：若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝. 则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确； 若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝， 则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故B正确； 若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝， 当M，N为相互独立事件时， P(N)＝1－P()＝， P(MN)＝×＝，故C错误； 若P(M)＝，P(N)＝，P()＝， 则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，D正确． 10．(5分)为了估计水库中鱼的尾数，可以先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有40尾带有记号的鱼．根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为________. 答案：25 000 解析：设水库中鱼的尾数是n，则从水库中任捕1尾鱼，得到的是带有记号的鱼的概率为.从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，由此可知从混合后的水库中捕出1尾鱼，得到的是有记号的鱼的概率约为，即≈，解得n≈25 000，所以估计水库中有25 000尾鱼． 11．(5分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，规则如下：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？________．(答案不唯一) 答案：不公平　“和是6或7，则甲胜，否则乙胜” 解析：列表如下： 　　B A　　 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，样本空间包含12个样本点，两个数字和为6包含的样本点有3个． 因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．如果将游戏规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的． 12．(10分)某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下： 等待时间/min [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1 (1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值s； (2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？ 解析：(1)易知＝xipi，s2＝ (xi－)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数． ＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min). s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2). s＝≈5.34(min). ∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min. (2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min. ∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min. 核心素养升级练 13.(13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%～55%，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%～b%时记为区间[a，b). 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率； (2)从区间[15，35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35)的概率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组．(只需写出结论) 解析：(1)由已知，当空气相对湿度在45%～55%时，病毒死亡较快． 而样本在[45，55)上的频数为30， 所以所求频率为＝. (2)设事件A为“从区间[15，35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25，35)”．设区间[15，25)中的两个数据为a1，a2，区间[25，35)中的三个数据为b1，b2，b3，因此，从区间[15，35)的数据中任取两个数据，包含(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个基本事件， 而事件A包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个基本事件，所以P(A)＝＝. (3)第6组． 14．(15分)鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量(单位：g)都在[500，1 000]之间，这些鱼的质量按照[500，600)，[600，700)，[700，800)，[800，900)，[900，1 000]分组得到频率分布直方图如下： (1)求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值； (2)根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案： 方案一：不论鱼的大小统一定价为每100 g 10元； 方案二：质量小于700 g的鱼，每100 g 8元；质量在[700，800)(g)之间的鱼，每100 g 12元；质量不小于800 g的鱼，每100 g 10元．方案二需要付分拣费：每100条鱼50元． 请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案． 注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表． 解析：(1)鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值为550×0.1＋650×0.2＋750×0.3＋850×0.25＋950×0.15＝765(g). (2)以这200条鱼的销售收入为参考， 若选方案一，销售收入的估计值为×10×200＝15 300(元). 若选方案二，由题意得，200条鱼中质量在区间[500，600)，[600，700)，[700，800)，[800，900)，[900，1 000]的条数依次约为20，40，60，50，30. 销售收入减去分拣费的估计值为 ×8×20＋×8×40＋×12×60＋×10×50＋×10×30－100＝15 360(元). 因为15 360>15 300，所以应该选方案二． 学科网（北京）股份有限公司 $$