精品解析：江苏省南京市鼓楼四校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级（上）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的制定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上 1. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的识别，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9，37，38 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，直接利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 4. 如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解． 【详解】解：由作图痕迹得，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三个角的平分线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6. 如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可得： ， ， ∵线段a，b，恰好能作为直角三角形三边， 当作为斜边时，， ∵ ∴， ∵， ∴取格点，，，则点，即为所求的点，如图： 当作为斜边时，， ∵ ∴， 网格中，找不到一个格点，使得， 综上，符合条件的点只有个， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如图，，且，， 则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理计算出的度数，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于，全等三角形中对应角的度数相等是解题的关键． 8. 直角三角形斜边上的中线长为4，则两直角边的平方和为__________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理的应用，根据直角三角形斜边上中线性质得出，求出，再根据勾股定理，代入求出即可． 【详解】解：是直角三角形的斜边上的中线， ∴ 由勾股定理得：， ∴，． 故答案为：64． 9. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 10. 如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，根据，则，即为所求，根据角平分线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点P，， ∴， ∴, 即两条平行线AD与BC间的距离为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 11. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为13，，则的周长为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，推出的周长等于，进行求解即可． 【详解】∵是线段的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为13， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：9． 12. 如图，把一个直立的火柴盒放到，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用．证得出是解题关键． 【详解】解：如图 由题意可知：，， ∴ ∴ ∵ ∴ 的面积为： 故答案为： 13. 如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示： 使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 14. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，利用勾股定理，求得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， 故答案为：． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 16. 如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分点与点C重合，此时的值最大，点与点D重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点F，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，点与点C重合，此时的值最大， ∵点与点B关于直线对称， ∴点C与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴； 如图2，点与点D重合，此时的值最小， ∵点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先根据角的和差关系证明，再利用可证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 18. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 19. 已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】 解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】略 20. 如图，中，是高，是中线，，且F是的中点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）44 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线． （1）连接，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质得到，即可求证； （2）利用勾股定理求出再利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，且F是的中点， ∴， ∵中，是高，是中线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴的面积． 21. 如图，的顶点均在正方形网格格点上．． （1）如图①，只用不带刻度的直尺，作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，点为点右侧的格点，，，延长的角平分线，交于点，则的长为__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与定义； （1）勾股定理求得，则，取的中点，则，则是的角平分线 （2）过点作，根据角平分线的性质可得，根据等面积法得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵， ∴ 取的中点，则， ∴是的角平分线 【小问2详解】 如图所示，过点作 ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 22. 在中，若，，为的中线． （1）写出长的取值范围：__________； （2）如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义、三角形的三边关系，作三角形； （1）根据题意倍长中线，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可求解； （2）作线段，分别以为圆心为半径作弧，交于点，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，延长使得，连接， ∵为的中线． ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， 即 ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 如图所示即为所求； 23. 如图，在中，在上，平分，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，延长到E，使得，连接，可证明得到，再由角平分线的定义得到，则，据此可得证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，延长到E，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，于C，，交与点，垂足为，连接，已知． （1）填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来____________________； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在中，，，，，求证：． 【答案】（1），； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理． （1）由，，得到，进一步得到，证明即可． （2）利用即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，即 ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵，， ， 25. 在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形． （1）圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形． （画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x的代数式以下要求与此相同） （2）满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设） （3）如图④，乐乐发现对于顶角是的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为的等腰三角形分成3个等腰三角形． （4）如图⑤，在中，，设，请按乐乐的方式用三种不同的方法将分成3个等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的应用； （1）根据题意，将顶角分为和，把它们分成两个等腰三角形； （2）将顶角分出一个的角，即可求解； （3）构造顶角为的两个等腰三角形，即可求解； （4）仿照（3）的方法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：如图所示， 【小问4详解】 解：如图所示， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的制定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上 1. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9，37，38 3. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三个角的平分线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 6. 如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如图，，且，， 则______． 8. 直角三角形斜边上的中线长为4，则两直角边的平方和为__________． 9. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 10. 如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为______． 11. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为13，，则的周长为____． 12. 如图，把一个直立的火柴盒放到，，则的面积为______． 13. 如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个． 14. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的结果为__________． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 16. 如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，．求证：． 18. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 19. 已知：如图，，点E在上，求证：． 20. 如图，中，是高，是中线，，且F是的中点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 21. 如图，的顶点均在正方形网格格点上．． （1）如图①，只用不带刻度的直尺，作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，点为点右侧的格点，，，延长的角平分线，交于点，则的长为__________． 22. 在中，若，，为的中线． （1）写出长的取值范围：__________； （2）如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 23. 如图，在中，在上，平分，且．求证：． 24. 如图，在中，于C，，交与点，垂足为，连接，已知． （1）填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来____________________； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在中，，，，，求证：． 25. 在学习中，我们知道直角三角形具有一种特性，即斜边上的中线可以把直角三角形分成两个等腰三角形． （1）圆圆发现，某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你在图①的三角形中画出一条线段，把它们分成两个等腰三角形． （画出分割线，在图上标出所有等腰三角形底角的度数或含x的代数式以下要求与此相同） （2）满满发现，在某些情况下，三角形的内角满足如图②所示的关系时，也可以经过某一顶点作一条线段将其分成两个等腰三角形，请你尝试解决．（设） （3）如图④，乐乐发现对于顶角是的等腰三角形，可以通过2条线段将其分成3个等腰三角形，请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将顶角为的等腰三角形分成3个等腰三角形． （4）如图⑤，在中，，设，请按乐乐的方式用三种不同的方法将分成3个等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $