精品解析：陕西省铜川市王益中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示的图形是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 不确定的 4. 已知点，圆，则（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 点与圆的位置关系不确定 5. 已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，则的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 16 D. 10. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 直线与直线之间的距离为______. 13. 已知地球运行的轨道是长半轴长的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大距离为，则地球到太阳的最小距离为________.（注：把地球、太阳看成质点） 14. 如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. （1）求的方程. （2）已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称. （1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值. （2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足. ①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r； ②证明：直线QG与圆C相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆中的关系可得，即可根据焦距定义求解. 【详解】由可得，故， 焦距为. 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可. 【详解】由得， 所以直线的斜率，即， 又，所以倾斜角. 故选：C. 3. 方程表示的图形是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】化简方程即可得解. 【详解】将化简，可得. 故选：C. 4. 已知点，圆，则（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 5. 已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用椭圆定义计算即可 【详解】的周长为. 故答案为：12 6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故选：D 7. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设得到、进而得，求解即可. 【详解】由题意可得为等腰直角三角形，所以，为等腰直角三角形， 所以，由题意可得，所以， 解得，所以，所以，所以， 所以， 解得（舍去）. 故选：A. 8. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果. 【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，则的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 16 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】讨论焦点在轴，轴时，分别求出，由离心率的公式即可求出答案. 【详解】当焦点在轴上时，， 由得，. 当焦点在轴上时，， 由得，. 综上得， 或. 故选：BD. 10. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离. 【详解】，A正确； ，B错误； 由题意得，则，所以四点共面，C正确； ，，，则点到直线的距离为，D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解； 对于B，两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程； 对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解； 对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确． 当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确． 若圆与圆关于点对称，则解得，C错误． 当时，圆：，圆：， 则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 直线与直线之间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由于与直线平行，故距离为， 故答案为： 13. 已知地球运行的轨道是长半轴长的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大距离为，则地球到太阳的最小距离为________.（注：把地球、太阳看成质点） 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的性质求解即可. 【详解】由题意可得，解得，所以地球到太阳的最小距离为. 故答案为： 14. 如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，设平面的法向量为， 则，则平面的一个法向量， 所以，即直线平面， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 已知直线，圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. （2）当为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于的方程求解. 【小问1详解】 由圆的方程可知圆心，半径. 直线，即. 因为直线与圆相切，则，解得或. 【小问2详解】 因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离. 同样根据点到直线距离公式得. 化简得. 解得. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，进而.因为，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 因为，所以，则，， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意可得，可证，，建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面. （2）求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 易得平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. （1）求的方程. （2）已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】（1） （2）①； ②证明：（方法一）由①中，得. 设直线被截得的线段的中点坐标为， 则，. 由，消去可得， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. （方法二）设直线与交于，两点. 设，，线段的中点坐标为， 则直线的斜率为，，. 因为点，在上，所以， 两式相减得， 化简得， 即， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. 【解析】 【分析】（1）用坐标表示几何条件化简可得点的轨迹方程； （2）①联立直线方程与椭圆方程，消去可求的取值范围； ②法一，由①可得，进而求得中点坐标，消去参数可得直线被截得的线段的中点所在直线方程. 法二，设直线与交于，两点.设，，利用点差法可得结论. 【小问1详解】 根据题意可得， 化简得， 即的方程为. 【小问2详解】 ①解：由，得. 由， 解得，所以的取值范围为. ②略 19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称. （1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值. （2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足. ①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r； ②证明：直线QG与圆C相切. 【答案】（1）证明：设，.，. 记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，. . 综上，为定值，定值为. （2）①； ②证明：因为点在圆C上，所以. 直线AE的斜率为，直线AD的斜率为， 直线AD的方程为. 令，得，则，. 直线QG的方程为，即， 原点O到直线QG的距离 ， 所以直线QG与圆C相切. 【解析】 【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出，即可证明. （2）①利用三角形中位线性质求得，然后利用直角三角形性质求得半径r； ②先求得点，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以. 又因为，所以，. 因为，所以，解得. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $