精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2024-2025学年九年级上学期期中教学质量监控数学试卷

青龙县2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 试题答案写在答题卡上． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；根据一元二次方程的定义逐项判定即可． 【详解】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. “国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班100分的人数最多．”嘉淇的描述所反映的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数．根据题意众数的定义即可求解． 【详解】解：得分是100分的人数最多， ∴嘉淇的描述所反映的统计量是众数． 故选：C． 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 4. 下图是老师随机抽查本班20名学生读课外书册数的情况绘制成的条形图，则这20名学生读书册数的众数和中位数分别是（ ） A. 6， B. 6，3 C. 9， D. 9，9 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了条形统计图、中位数和众数，解题的关键是读懂条形统计图． 根据中位数和众数定义求解即可 【详解】解：根据条形统计图可得：9出现次数最多，故众数是9； 20个数据从小到大排列最中间的数字是8和9，故中位数， 故选：C． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 6. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例中项的性质可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得且，即，解得 故选B 【点睛】此题考查了比例中项的性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，掌握比例中项的概念是解题的关键，易错点为线段． 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故选C． 8. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4046 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据题意先得出即可． 【详解】解：是方程的两个实数根 ． 故选：C． 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 11. 解分式方程时，可以选择换元法，如果设，那么原方程可化为关于y的分式方程，去分母化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，根据方程的特点先换元，再解分式方程；由题意得，原方程变为简单的分式方程，去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程变为，去分母得：； 故选：C． 12. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 卷Ⅱ（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分） 13. 已知一组数据2，3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的中位数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的定义求出x=5，故可求出中位数． 【详解】∵这数据2，3，4，5，6，的众数为5 ∴x=5， 把数据从小到大排列为：2，3，4，5，5，6 故中位数为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查众数、中位数，解题的关键是熟知众数、中位数的定义． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；根据特殊三角函数值进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 15. 若，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查代数式求值．解题的关键是熟练掌握整体代换方法的运用． 将已知等式代入所求式子即可求解． 【详解】∵， ∴． 故答案为：2024 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可． 【详解】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝5， ∴sinB＝． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是正确计算出AB的长． 17. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 18. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 【答案】或或 【解析】 【分析】由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 19. 已知，那么________． 【答案】#### 【解析】 【分析】由可设，，代入计算可得． 【详解】解：由可设，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质和设的方法． 20. 如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则与是否垂直？______．（填“是”或“否”） 【答案】是 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，推出，证明，即可得到结论． 【详解】解：如图， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是垂直的， 故答案为：是； 22. 如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 则她还需取丙纸片的块数为4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共6个小题；共64分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 23. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴ 原方程的解为：； 【小问2详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的解为：． 24. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【小问1详解】 解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． 【小问2详解】 “能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 25. 如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___． 【答案】4 cm 【解析】 【分析】设正方形的边长为x cm，然后根据相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为xcm，与交于点P， ∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴＝， 解得：x＝4， 故答案为：4cm 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，设正方形的边长，列出方程． 26. 某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点D处，将含角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上（即此时的仰角是）．沿教学楼向前走8米到达点F处，将含角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上（即此时的仰角是）．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】教学楼的高约为20.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接并延长，交于点M，设米，解得到，解，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点M，设米． 由题意可知，四边形，四边形是矩形，， ，， 在中，， ． 在中，，， 解得， （米） 答：教学楼的高约为20.5米． 27. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价每件盈利减少的百分率为 （2）若商场每天要盈利元，每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 28. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 试题答案写在答题卡上． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班100分的人数最多．”嘉淇的描述所反映的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是老师随机抽查本班20名学生读课外书册数的情况绘制成的条形图，则这20名学生读书册数的众数和中位数分别是（ ） A. 6， B. 6，3 C. 9， D. 9，9 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4046 D. 2023 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 解分式方程时，可以选择换元法，如果设，那么原方程可化为关于y的分式方程，去分母化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 12. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 卷Ⅱ（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共10个小题，每题2分，共20分） 13. 已知一组数据2，3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的中位数为____． 14. 计算：______． 15. 若，则的值为______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝_____． 17. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 18. 如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是______．（只要写一个条件） 19. 已知，那么________． 20. 如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 21. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则与是否垂直？______．（填“是”或“否”） 22. 如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为 _____． 三、解答题（本大题共6个小题；共64分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 23. 解方程： （1）； （2）． 24. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 25. 如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___． 26. 某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点D处，将含角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上（即此时的仰角是）．沿教学楼向前走8米到达点F处，将含角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上（即此时的仰角是）．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果精确到0.1，参考数据：，） 27. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 28. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $