精品解析：黑龙江省伊春市2024—-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　) A. B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 3. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 4. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 5. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 7. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 不能确定 9. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，四边形是边长为的正方形，是上一动点（不与点，重合），将直线绕点顺时针旋转，交的外角平分线于点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③面积的最大值为；④；⑤．其中结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为______ 12. 若点与点关于原点对称，则________． 13. 已知抛物线．当时，则该二次函数的最小值为______． 14. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 __________________． 15. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于_____． 17. 如图，，，，将绕点旋转，当点恰好落在的直角边上时，的长为________． 18. 如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为________． 19. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中满足． 22. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将向右平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． 23. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在线段上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）请直接写出线段的最大值． 25. 某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价上涨m元，每月能售出　　　个排球（用m的代数式表示）． （2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元． 26. 在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． （1）如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 27. 为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 28. 四边形，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，线段，的长是方程的两根，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作，交直线于点． （1）求点，的坐标； （2）连接，设点运动的时间为秒，的面积为，求与的函数关系式； （3）为直线上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　) A. B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、当a≠0，b、c为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是分式方程，故此选项错误； C、是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于x的一元二次方程，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0）， ∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2． 故选：A． 4. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 5. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 6. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 7. 如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，过点作轴于，由旋转性质可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，最后根据解直角三角形可得到点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】过点作轴于， ∵点的坐标为， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合， ∴，，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 8. 用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值 【详解】设窗框的长为， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 10. 如图，四边形是边长为的正方形，是上一动点（不与点，重合），将直线绕点顺时针旋转，交的外角平分线于点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③面积的最大值为；④；⑤．其中结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】在上取，连接，根据正方形的四个角都是直角，三条边都相等，对边平行得出，，，根据等腰直角三角形的定义得出为等腰直角三角形，故，求得，结合题意得出，根据角平分线的定义求出，即，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可判断①正确；根据等腰直角三角形的定义得出为等腰直角三角形，故，推得，即可判断②正确；根据全等三角形的面积相等可得，结合三角形的面积公式和配方法得出，根据偶次方的非负性可得出当时，的面积有最大值为，即可判断③正确；将绕点逆时针旋转得到，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可判断④正确；根据全等三角形的对应角相等得出，根据两直线平行，内错角相等可推得，即可判断⑤正确． 【详解】解：在上取，连接，如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， 设，则，， 故， ∵， ∴， 即当时，的面积有最大值为，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，如图： 则， ∴，，， ∵， 故， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，配方法的应用，偶次方的非负性，旋转的性质，平行线的性质等，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，进行作答即可． 【详解】解：， ∴， ∴一次项的系数为； 故答案为：． 12. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：5． 13. 已知抛物线．当时，则该二次函数的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求出当时的最小值． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线关于对称， 抛物线在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值，即最小值为：， 故答案为：0． 14. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数（该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 作于H，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据旋转的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A到直线的距离等于3， 故答案为：3． 17. 如图，，，，将绕点旋转，当点恰好落在的直角边上时，的长为________． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等，先利用30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理求出相关边的长度，再分点D落在边和边两种情况，分别求解即可． 【详解】解：，，， ， ． ， ， 又，， ， ． 分两种情况，当点D落在边上时，如图： 此时，； 分两种情况，当点D落在边上时，如图： ， 综上可知，的长为3或， 故答案为：3或． 18. 如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：延长到，使．如图： ∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴点在的边上运动， ∵，， ∴， 故，， 作点关于的对称点，连接， 则，， 故， 当，，三点共线时，， 当时，的值最小， 故满足，，三点共线，且时，的值最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出新函数图象的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图象，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原函数图象的顶点坐标为：， 如图，根据折叠的性质， 可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为， 当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知： m的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到新抛物线的顶点坐标是解题的难点． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，点坐标的规律，勾股定理等，解题的关键是找到点坐标的变化规律．根据旋转的性质，可得点的运动轨迹，发现规律：即点的位置每旋转次一个循环，然后找到正方形旋转次后点的位置，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次，点的坐标循环出现． 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同． 如图：过点作轴，交于点轴，交于点， ∵正方形的边长为，， 故， 故点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，以及代数式求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先通分括号内，再运算除法，化简得，结合，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ 即 则 22. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将向右平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 为所求，点的坐标为； （2） 为所求，点的坐标为； （3） 为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、画轴对称图形、画旋转图形，坐标与图形的关系．解析的关键是根据几何变换的特点得出各点变换后的对应点，然后顺次连接． （1）利用点平移的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （3）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出； （2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设相交于点F， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在线段上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）请直接写出线段的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，点的坐标为 （2）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值．将线段的最值转化为二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得的值，即可得抛物线的解析式；令，解方程即可求得的坐标； （2）线待定系数法求出直线的解析式，根据解析式分别表示两点的坐标，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线过两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， 则抛物线解析式为； 令可得，， 解得：， ∵ 点在点的左侧， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入可得， 解得：， 则直线解析式为； ∵轴，点的横坐标为， ∴， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为． 25. 某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价上涨m元，每月能售出　　　个排球（用m的代数式表示）． （2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元． 【答案】（1）；（2）每个排球的售价为37元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个”列出代数式； （2）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答. 【详解】（1）依题意得：600-20x ； （2）设每个排球的售价为x元． 根据题意，得(x-30)[(40-x)×200+600]=8400 解得x2=36，x2=37, 当x=36时，销量为1400>1300,舍去；当x=37，销量为1200<1300,适合题意． 答：每个排球的售价为37元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 26. 在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． （1）如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 【答案】（1） （2）当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，故，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，即可得出； （2）当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出；当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出； 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 在中，， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点在的延长线上时，； 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 当点在的延长线上时，， 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， 故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 【答案】（1）w=-2x2+280x-8000（40<x<100） （2）当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元 （3）少获得1000元的销售利润，销售价应 【解析】 【分析】（1）根据总利润=销售量×单件利润，列出函数关系式； （2）将（1）的函数关系式化为配方式，利用二次函数的性质求最大值； （3）把w=1000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，，解得：40＜x＜100， ∴w =（-2x+200）•（x-40）， ∴w与x之间的函数关系式是w=-2x2+280x-8000（40＜x＜100）； 【小问2详解】 由①可知， w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+1800， 当x=70时，w=1800， 答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元； 【小问3详解】 当w=-2x²+280x-8000=-2（x-70）²+18001000， 解得 ∴时 ∴至少获得1000元的销售利润，销售价应． 【点睛】本题考查了二次函数的运用和一元二次方程的应用．根据题意列出函数关系式是解决问题的关键． 28. 四边形，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，线段，的长是方程的两根，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作，交直线于点． （1）求点，的坐标； （2）连接，设点运动的时间为秒，的面积为，求与的函数关系式； （3）为直线上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程求出方程的根，得到，的长度，再证明三角形相似求出的长度，进而得到点、、的坐标，再设点，利用来求解； （2）设直线的解析式，将将，代入求出解析式，设点的坐标，求出，利用三角形面积公式求解； （3）分两种情况，当点在轴上方时，过点作轴于点，当点在轴下方时，过点作轴于点，利用正方形的性质易得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：解方程得 ，， ，． ， ． ， ， ， 即， ， ，， ， ， ． ， 设点， ，． ， 即， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入得 ， 解得， 的解析式为：． 点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设点运动的时间为秒， ， ，即． 在上运动， 在的上方， ， ， 当时，， 当时，， 综上可得：． 【小问3详解】 解：根据题意作出如下图， 当点在轴上方时，过点作轴于点， 是正方形， ，． ， ． 在和中 ， ， ，， ， ． 当点在轴下方时，过点作轴于点， 是正方形， ，． ， ． 在和中 ， ， ，， ，． ． 综上所述，的坐标为或 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数解析式的求法，解一元二次方程，两点间距离公式，理解题意作出图形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $