精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期11月期中测试数学试题

树德中学高2022级高三上学期11月半期测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，若对都有，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或2 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 3. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是 4. 数列为等比数列，若，则为（ ） A. 4 B. -4 C. D. 不确定 5. 已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四面体的外接球半径为2，若，则四面体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 、为对立事件 B. C. D. 10. 对于函数与，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同零点 B. 当时，与的交点个数为6 C. 将的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到的图像 D. 将的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到的图像 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若则曲线在的切线方程为 B. 若当且仅当，则的取值范围 C. D. 若函数有三个零点为，则的取值范围 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 13. 已知数列满足：，则为______. 14. 设是数字的排列，若存在成立，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，， （1）求； （2）若，则三角形的面积为，求 16. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，. （1）求证：平面⊥平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对于恒成立，求的最大值. 18. 已知椭圆：过，，中的三点. （1）求椭圆方程及其离心率； （2）过作直线交于两点（），连接，过作轴垂线分别交于.求证:为中点. 19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合. （1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； （2）从集合中任意取出两个不同数列，记. ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2022级高三上学期11月半期测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，若对都有，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到圆心到的距离，利用垂径定理求出弦长. 【详解】的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 故直线被圆截得的弦长为 . 故选：D 3. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，利用极差定义得到C正确；D选项，由百分位数的定义进行判断. 【详解】A选项，更爱使用购物类APP的大学生比例为，A错误； B选项，为了学习与生活需要使用APP的大学生比例为，B错误； C选项，使用APP偏好情况中7个占比中，数字极差为，C正确； D选项，，故从小到大，选取第3个作为分位数，即，D错误. 故选：C 4. 数列为等比数列，若，则为（ ） A. 4 B. -4 C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质计算即可； 【详解】由题意可得， 两式相除可得，即，解得或2， 当时，由，所以； 当时，由，所以； 综上，为， 故选：C. 5. 已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，由基本不等式得到，由得到，B正确；C选项，由基本不等式得到；D选项，由基本不等式得到. 【详解】A选项，取得，A错误； B选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 但，故等号取不到，所以， ，故，综上，，B正确； C选项，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 但，故等号取不到，所以，C错误； D选项，由B选项知，，故， 所以，D错误. 故选：B 6. 已知四面体的外接球半径为2，若，则四面体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的性质先确定球心到底面的距离，结合棱锥的体积公式计算即可. 【详解】如图所示，设四面体的外接球球心为O，底面的外接圆圆心为， 则底面，共线且在上方时四面体的高最大， 最大值为，取的中点为， 由， 由正弦定理可知：， 所以， 底面中，显然当共线时，D到距离最大， 所以， 则四面体的体积最大值. 故选：D 7. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点与准线，再利用直线的倾斜角求出其方程，接着联立直线与抛物线方程，通过代入消元得到关于交点坐标的二次方程，并根据象限位置确定两点的具体坐标，然后运用抛物线的几何性质，将点到焦点的距离转化为到准线的垂线段长度，通过坐标计算两点到原点的距离，最后将两距离相比即得. 【详解】由抛物线方程，得焦点，准线方程为， 过且倾斜角为的直线斜率为，直线方程为： 联立直线与抛物线方程： 将代入，得： 整理得： 解得：， 由于点在第四象限，点在第一象限，则， 过点作准线的垂线，垂足的坐标为， ， ， 故. 故选：D 8. 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，故A正确，BCD错误. 【详解】ABC选项， ， 故函数的图象关于中心对称，A正确，BC错误； D选项，，故不关于中心对称，D错误. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 、为对立事件 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解. 【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确. 故选：AB 10. 对于函数与，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同零点 B. 当时，与的交点个数为6 C. 将的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到的图像 D. 将的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到的图像 【答案】BC 【解析】 【分析】计算两个函数的零点，即可求解A，根据，求解或，即可判断B，根据函数图象的变换即可求解CD. 【详解】对于A，的零点为,的零点满足,故，两个函数的零点不相同，故A错误， 对于B, 令，则或，解得或，故时，零点有，共有6个，故B正确， 对于C，将的图像向右平移个单位，得到，再把的横坐标变为原来的可以得到，C正确， 对于D，将的图像横坐标变为原来的，得到，再将向右平移个单位可以得到的图象，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若则曲线在的切线方程为 B. 若当且仅当，则的取值范围 C. D. 若函数有三个零点为，则的取值范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判定A，含参讨论函数的单调性结合特例可判定B，利用解析式直接计算可判定C，根据B结合含参讨论函数的单调性得出函数大致图象，结合C，得出零点间关系计算即可. 【详解】对于A，易知时，，所以， 即曲线在的切线方程为，故A正确； 对于B，，， 易知时，则，此时定义域上单调递增，而， 即当且仅当，，故B错误； 对于C，易知显然成立，故C正确； 对于D，由B项知，当时，令， 由可知：， 则在和上单调递增， 在上单调递减， 因为，且时，，时，， 可大致作出函数图象， 不妨设，可知， 因为，由C知，即， 因为，根据函数单调性知，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于B项，含参讨论导函数零点个数判定函数的单调性即可；对于D项，利用C项的结论将多元变量转化是解决本题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可. 【详解】由得：, 由得：, 所以，, 所以. 故答案为： 13. 已知数列满足：，则为______. 【答案】34 【解析】 【分析】由求出，由求出，进而求出 【详解】为奇数，故， 为偶数，故， 为奇数，故. 故答案为：34 14. 设是数字的排列，若存在成立，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到进行排列，共有种情况，再列举出满足要求的情况，求出概率. 【详解】进行排列，共有种情况， 其中满足存在成立的情况有， ，共10种情况， 故从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，， （1）求； （2）若，则三角形的面积为，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）根据三角形面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 根据可得， 即，故, 由于，故 【小问2详解】 由得， 又因为由余弦定理知， 故，结合 解得 16. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，. （1）求证：平面⊥平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：平面⊥平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，得到⊥，结合得到⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面； （2）作出辅助线，得到，，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，利用点到平面的距离公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接，， 又因为，所以，则， 因为，所以，则， 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为.则， 所以点到平面的距离为为. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对于恒成立，求的最大值. 【答案】（1） 当时，在R上单增递增； 当时，在单调递减，单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在（1）基础上，分，，三种情况，时，不合要求；当，的最大值为1；当时，在处取得极小值，也是最小值，，故，令，求导，得到函数单调性，得到，从而求出的最大值为. 【小问1详解】 ，当，在R上单调递增， 当，令得，令得， 故在单调递减，单调递增， 综上，当时，在R上单增递增； 当时，在单调递减，单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当，在R上为单调递增， ，不合题意 当，在R上单调递增，， 故的最大值为1， 当，在单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， ， 由不等式对于恒成立，可得对于恒成立， 所以， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，即，当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 18. 已知椭圆：过，，中的三点. （1）求椭圆方程及其离心率； （2）过作直线交于两点（），连接，过作轴垂线分别交于.求证:为中点. 【答案】（1），离心率； （2）证明：，设， AI 联立，得有， ，解得或， 由韦达定理得 ，故， 在中令得，， 故， 直线，令，得 ， 故， 要证为中点，即证， 即证， 即证， 将代入上式得，， 故为中点. 【解析】 【分析】（1）由对称性知同时在椭圆，假设在上，求出，此时方程为圆，不合要求，当在上时，求出，得到椭圆方程，求出离心率； （2）求出，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，得到，表达出，的坐标，要证为中点，即证，即证，将代入上式恒成立，故为中点. 【小问1详解】 由于关于轴对称， 故同时在椭圆：上， 若在上，则，解得， 此时为以原点为圆心，为半径的圆，不合题意； 若在上，则，解得， 故椭圆方程为，，离心率为； 【小问2详解】 略 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合. （1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； （2）从集合中任意取出两个不同数列，记. ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②证明：. 【答案】（1）0 （2）①分布列为： 1 2 3 ； ②证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列， 所以的可能取值为：. 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 因为， 所以 ， 即. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到时，，当和时，从而得到的所有项的和； （2）①中的数列有；；；；；；；；的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况，列举出和的情况数，得到，进而求出，得到分布列和数学期望； ②的可能取值为：，根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有，且，从而得到分布列，结合求和，得到. 【小问1详解】 因为是12项数列，当且仅当时，， 所以当和时，. 设数列的所有项的和为， 则 所以数列的所有项的和为0. 【小问2详解】 ①若，则中的数列有；；；；；；；； ，故的取值有1，2，3， 从8个数列中任选2个，共有种情况， 其中当时，若选择，可从；；任选1个，共有3种情况， 若选择，可以从；；任选1个，共有3种情况， 另外和，两者之一满足要求，和，两者之一满足要求， 和，两者之一满足要求，共有种情况， 故， 当时，和满足要求，和满足要求，和满足要求， 和满足要求，共有4种情况，故， 所以， 其分布列为： 1 2 3 则； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $