辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2） 2．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2） 3．（3分）平面内，若⊙O的半径为，OP＝2，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆内或圆外 4．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x+2）2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2 5．（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大 6．（3分）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝55°，则∠ADC的度数是（　　） A．25° B．55° C．45° D．27.5° 7．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣a+1的顶点在x轴上，则a的值是（　　） A．﹣2 B． C．﹣1 D．1 8．（3分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B．6cm C．8cm D．8.4cm 9．（3分）如图是嘉淇某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量均为2kg，杠杆总长30cm，其余数据如图所示，此时杠杆处于平衡状态，则y与x的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　） A． B．12cm C． D．14cm 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城已知两地路程为500千米，车速为每小时x千米，若从A城市到B县城所需时间为y小时，则y与x的函数关系式是　 　． 12．（3分）若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为　 　． 13．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留π） 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2和y＝ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD＝2AB，则a的值是 　 　． 15．（3分）如图是二次函数y＝x2+bx﹣1的图象，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是 　 　． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16．（10分）如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，m）、B两点． （1）求m和k的值； （2）求点B的坐标． 17．（8分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线y2＝kx+b（k≠0）与抛物线交于A，B两点． （1）写出不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范围； （2）若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，BC∥x轴，AB＝1，，AD＝2． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形A'B'C'D'，求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式． 20．（8分）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长． 21．（8分）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m． 吊球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． 高远球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 22．（12分）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值． 某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y … 2.5 3 3.5 4 3.2 2. … 【解决问题】 （1）求y关于x的函数表达式． （2）求“药熏消毒”的有效消毒时间． （3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足m≤x≤3m，其中m为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 23．（13分）抛物线，直线l的解析式为y2＝（k﹣1）x+2m﹣k+2． （1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线的顶点坐标； （2）探究抛物线y1与直线l的交点情况并说明理由； （3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x满足两个条件： ①不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立； ②当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1．求直线l的解析式． 2024-2025学年辽宁省大连市沙河口区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，a＝﹣3＜0， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意； 当x＝1时取得最大值2，故选项C不符合题意； 顶点坐标为（1，2），故选项D符合题意； 故选：D． 2．【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝， ∴k＝﹣4， ∴y＝， ∴点（4，﹣1）在函数图象上， 故选：A． 3．【解答】解：∵点P到圆心的距离2，大于圆的半径， ∴点P在圆外． 故选：C． 4．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+2． 故选：C． 5．【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的； 由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的， 由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的， 故选：D． 6．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC， ∴弧AC＝弧AB （垂径定理）， ∴∠ADC＝∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）； 又∠AOB＝55°， ∴∠ADC＝27.5°． 故选：D． 7．【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣a+1＝a（x﹣1）2﹣2a+1， ∵抛物线顶点在x轴上， ∴﹣2a+1＝0， 解得a＝． 故选：B． 8．【解答】解：∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm， ∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， ∵OD⊥AB， ∴AC＝CB＝＝＝4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 故选：C． 9．【解答】解：∵左侧每个钩码的质量均为2kg，杠杆总长30cm， ∴xy＝5×2×3＝30， ∴y＝（0＜x＜15）， 故y与x的函数图象可能是C选项， 故选：C． 10．【解答】解：如图，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），E（﹣，6），F（，6）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+b， 将B（2，0），F（，6）代入， 得， 解得， ∴y＝x2﹣4， 当y＝12时，12＝x2﹣4， 解得x1＝4，x2＝﹣4， ∴C（﹣4，12），D（4，12）， 根据题意可知，∠DCE＝∠BAF＝30°，设BE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q， 在Rt△CPQ中， CQ＝4，∠PCQ＝30°， ∴PQ＝4cm， ∴PO＝8cm， ∴P（0，8）， ∴直线CE的解析式为：y＝kx+m， 将C（﹣4，12），P（0，8），代入， 得， 解得， ∴直线CE的解析式为：y＝x+8， 令x2﹣4＝x+8， 解得x＝或x＝， ∴点E的横坐标为， 当x＝时，y＝×+8＝5， ∴E（，5）． ∴CE＝＝14（cm）， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．【解答】解：由路程等于速度乘以时间得：xy＝500 ∴y＝（x＞0） 故答案为：y＝（x＞0）． 12．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12πcm2． 故答案为：12πcm2． 13．【解答】解：如图所示，连接OC，OD， ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， 由四边形内角和为360°可得， ∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD ＝360°﹣90°﹣90°﹣120° ＝60°． ∴的长＝＝2π． 故答案为：2π． 14．【解答】解：把y＝2代入y＝x2中得，x2＝2， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把y＝2代入y＝ax2得，ax2＝2， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵CD＝2AB， ∴ ∴ 故答案为：． 15．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2）， 当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣1＝2；当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣1＝7， 当﹣1＜x＜4时，﹣2≤y＜7， 而关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解可看作二次函数y＝x2﹣2x﹣1与直线y＝t有交点， ∴﹣2≤t＜7． 故答案为：﹣2≤t＜7． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16．【解答】解：（1）将点A（2，m）坐标代入一次函数y＝x+1得： m＝2+1＝3， ∴A（2，3）， ∵点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝2×3＝6． ∴m＝3，k＝6； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，联立方程组得： ，解得或， ∴B（﹣3，﹣2）． 17．【解答】解：（1）由图象可得，y2＞y1时，x＜1或x＞4， ∴不等式kx+b＞ax2+bx+c中x的取值范围为x＜1或x＞4． （2）∵抛物线的顶点为A（1，3）， 设y1＝a（x﹣1）2+3（a≠0）， 将（4，0）代入y1＝a（x﹣1）2+3， 得9a+3＝0， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y1＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+， ∴方程﹣x2+x+＝m有两个不相等的实数根， 即方程﹣x2+x+﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（）2﹣4×（﹣）×（﹣m）＝4﹣m＞0， 解得m＜3， ∴m的取值范围为m＜3． 18．【解答】证明：连接OA、OD，过点O作OE⊥AC于E， ∵AB＝AC，O是底边BC的中点， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB， ∵∠BAO＝∠CAO，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OE＝OD， ∵OD为⊙O的半径， ∴AC与⊙O相切． 19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝2． 又∵点A的坐标为（），AD∥x轴， ∴B（），C（），D（）． （2）由平移可知， 点A′的坐标为（﹣3+m，），点C′的坐标为诶（﹣1+m，）． ∵点A′和点C′都在反比例函数的图象上， ∴＝， 解得m＝4， 即矩形ABCD的平移距离是4， 则A′的坐标为（1，）， ∴k＝1×， ∴反比例函数的解析式为y＝． 20．【解答】（1）证明：连接OD， ∵CB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC， ∴△DOC≌△BOC（SAS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴OD⊥DC， 又OD为⊙O半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：设CB＝x， ∵AE⊥EB， ∴AE为⊙O的切线， ∵CD、CB为⊙O的切线， ∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO， ∴BD⊥OC， 过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4， ∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2， 解得x＝9， ∴CB＝9， ∴OC＝＝， ∵＝， ∴BF＝． 21．【解答】解：（1）∵y＝﹣0.4x+b，直线经过点（1，2.4）， ∴﹣0.4+b＝2.4． 解得：b＝2.8． ∴扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4x+2.8． ∴点P的坐标为（0，2.8）． 吊球时，设y＝a（x﹣1）2+3.2． ∵抛物线经过点（0，2.8）， ∴2.8＝a（0﹣1）2+3.2． 解得：a＝﹣0.4． ∴吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2． （2）①当x＝3时，y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6． 答：球网AB的高度为1.6米． ②当y＝0时，0＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2． 解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2（不合题意，舍去）． ∴羽毛球落地点到球网的距离为1+2﹣3＝（2﹣2）米． （3）①接球点为（6，2.8）． 若最大高度为5.8，那么a的值最小． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n＝3． ∴y＝a（x﹣3）2+5.8． ∴2.8＝a（6﹣3）2+5.8． 解得：a＝﹣． ②接球点为（8，2.8）． 若最大高度为4.8，那么a的值最大． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n＝4． ∴y＝a（x﹣4）2+4.8． ∴2.8＝a（8﹣4）2+4.8． 解得：a＝﹣． ∴a的取值范围为：﹣≤a≤﹣． 22．【解答】解：（1）由题意，观察图象AB过点（0.5，2.5），（1，3）， 设AB解析式为y＝mx+n， ∴， ∴， ∴AB解析式为y＝x+2． 设BC所在反比例函数为y＝， 又过点（2.5，3.2）， ∴k＝2.5×3.2＝8． ∴BC所在反比例函数为y＝； （2）∵AB为y＝x+2， 又令y＝， ∴x＝， 又AB所在函数y随x的增大而增大， ∴x≥， ∵BC所在反比例函数为y＝， 令y＝， ∴x＝3． 又BC所在反比例函数y随x的增大而减小， ∴x≤3， ∴有效消毒时间段为≤x≤3． （3）由题意，m≤2≤3m时，（即≤m≤2）， ①把x＝m，y＝代入y＝x+2，得＝m+2， 解得m＝， 把x＝3m＝2代入y＝，得y＝4，满足题意． ∴≤x≤2， ②把x＝3m，y＝代入y＝，得＝， 解得a＝1． 把x＝a＝1代入y＝x+2，解得y＝3，满足题意． ∴1≤x≤3． 综上，≤x≤2或1≤x≤3． 23．【解答】解：（1）抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，即：﹣2m＝﹣3，解得：m＝， 则抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（ x+1）2﹣4， 则抛物线的顶点（﹣1，﹣4）； （2）抛物线：y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m， 直线：y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2， 则x2+（2m﹣k）x﹣4m+k﹣2＝0， 则Δ＝（2m﹣k）2﹣4（﹣4m+k﹣2）＝（2m﹣k）2+16m﹣4k+8， ＝（2m﹣k）2+4（2m﹣k）+8m+4+4， ＝（2m﹣k+2）2+8m+4， ∵m＞﹣， ∴（2m﹣k+2）2+8m+4＞0 ∴Δ＞0，抛物线与直线l必有两个交点． （3）依题意可知y最小值＝﹣4， 即： [4×1×（﹣2m）﹣（2m﹣1）2]＝﹣4， 解得：m＝或﹣， ∵﹣＜m， ∴m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1， ①当k≤﹣1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小．此时y最小值＝k2+2k﹣3， ∴k2+2k﹣3＝2k+1， 解得：k1＝2＞﹣1（舍去），k2＝﹣2， ②当k﹣2＜﹣1＜k，即﹣1＜k＜1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y最小值＝﹣4， ∴2k+1＝﹣4， ∴解得：k＝﹣＜﹣1 （舍去）• ③当k﹣2≥﹣1，即k≥1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，图象上升，y随x增大而增大， 此时y最小值＝（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3， 即（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3＝2k+1， 解得：k1＝2+2，k2＝2﹣2＜1 （舍去）， 综上所述，直线l：y＝﹣3 x+7或y＝（1+2）x+3﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$