广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广州市玉岩中学2024学年第一学期期中测试 高二数学 命题人：向良辉 审校人：朱幸芳 说明：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷.第I卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分.考试时间为120分钟第I卷（选择题） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必用2B铅笔将姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的试卷类型､考试证号和考试科目. 2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.（答案写在试题卷上无效）. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ） A. ，6 B. ， C. ，6 D. ， 3. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ） A. 与互斥 B. ， C. D. ，为对立事件 5. 平面上、、三点不共线，设，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分. 9. 从这20个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知的顶点，重心，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 为等边三角形 C. 欧拉线方程为 D. 外接圆的方程为 11. 在平行六面体中，，若，其中，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有甲､乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为，乙生产出正品且甲生产出次品的概率为，每台机床生产出正品的概率均大于，则甲､乙同时生产这种零件，至少有一台生产出正品的概率是__________. 13. 设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）.现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时. （1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率； （2）若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率. 16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题： （1）已知，，若，求点的轨迹方程； （2）已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点. （1）用、、表示向量； （2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 18. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. （1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； （2）证明：直线在曲面上； （3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 广州市玉岩中学2024学年第一学期期中测试 高二数学 命题人：向良辉 审校人：朱幸芳 说明：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷.第I卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分.考试时间为120分钟第I卷（选择题） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必用2B铅笔将姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的试卷类型､考试证号和考试科目. 2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.（答案写在试题卷上无效）. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）存在，定点 【17题答案】 【答案】（1） （2）存在，当时， 【18题答案】 【答案】 （1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）在线段上存在一点满足题意，且 【19题答案】 【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由如下： 根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）证明如下： 设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $