江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题

景德镇市2025届高三第一次质检试题 数学 命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数,且最小正周期为4 B. 若,,则往方向上的投影长为 C. 是抛物线上一点,,则的最小值为1 D. 已知两直线与,则“”是“,互相平行”的充分不必要条件 10. 在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（ ） 参考数据：若，则， ， A. B. 总体是35万人 C. 样本均值为73.5 D. 估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 是定值 C. D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 13. 已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________. 14. 甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和对称中心； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求. 16. 如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. （1）求的方程； （2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 18. 已知函数，其中. （1）已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； （2）求证：存在常数使得,并求出的值； （3）在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 19. 第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数. （1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值； （2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值； （3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值. 景德镇市2025届高三第一次质检试题 数学 命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），，其中． （2）1 【16题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接，∵，故． ∵平面平面，平面， ∴平面，而平面，∴． 又∵，，平面． ∴平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） ， ∵， （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或．… （3）证明：先证明排序不等式，不妨假设，是 的一个排列，，不妨假设，则 ，于是 成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：． 假设经过若干次对换后得到，其中， 则． ∵，其中与均为正常数，要使 得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则． 设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相等，则． ∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能大，则应将按从小到大的顺序排列． 将中的数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需次对换，再将排最前面有次对换，故． ∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能小，则应将按从大到小的顺序排列． 而中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要次对换，位置不变，故． ∴． 若，同理可得． 综上所述，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $