精品解析：山东省东营市东营港经济开发区2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期第一次质量检测 七年级数学试题 （时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 1.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置． 2.必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 第Ⅰ卷（30分） 1. 七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意， B不是轴对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键． 2. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，8cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断． 【详解】解：A、3+2=5，不能组成三角形，故选项错误； B、5+6＞10，能组成三角形，故正确； C、1+1＜3，不能组成三角形，故错误； D、4+3＜8，不能组成三角形，故错误． 故选B． 【点睛】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可． 3. 一个三角形的两边长分别为3和6，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵a为整数， ∴a的最大值为8， 则三角形的最大周长为． 故选：C． 4. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，根据三角形高线的定义，过点作交的延长线于点，则为边上的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的画法． 【详解】解：由题意可知，的边上的高是线段， 故选：． 5. 如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则的值是（ ） A. 130 B. 106 C. 100 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用不同的路径展开图不一样，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：长方体的展开图如图： （1）展开前面右面由勾股定理得a2＝（6+3）2+52＝106； （2）展开前面上面由勾股定理得a2＝（5+3）2+62＝100； （3）展开左面上面由勾股定理得a2＝（5+6）2+32＝130． 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”是解题关键． 6. 一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，． 当铅笔如图放置时x最小． 在中，， ∴， ∴． ∴x的取值范围：. 故选：B． 7. 下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（    ） A. ①④ B. ①③ C. ①② D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、一定是正整数，所以、、仍是勾股数，故①正确，符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故①④正确，符合题意； 故选：A． 8. 园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．连接，先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】解：连接，则由勾股定理得， ∵，即， ∴． 这块草坪的面积． 故选：D． 9. 如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（    ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键． 利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，，，，，再得到，，所以即可得出． 【详解】解：∵，，分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴ 故选：D． 10. 如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， ∴平分，故④正确． 在和中，，，，， 则和不全等， ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题（共8题，11至14每题3分，15至18每题4分，共28分） 11. 如图，，，与关于直线对称，则________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键． 先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，内有一点P，P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于A、B点．若的长为16，则的周长为______ ． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为16， ∴的周长为：， 故答案为：16． 13. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断前的高度是__________． 【答案】##24米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】解：如图，∵是直角三角形，，， ， 则这棵大树折断前的高度是 故答案为：． 14. 三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是______． 【答案】直角三角形． 【解析】 【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2=c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵（a-b）2=c2-2ab， ∴a2-2ab+b2=c2-2ab， ∴a2+b2=c2． ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15. 如图，于点B，于点C，E是上一点，，，，则_________.  【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的了直角三角形两个锐角互余，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．根据直角三角形两个锐角互余求出，，根据所对的直角边是斜边的一半得出，，再由勾股定理得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对的直角边是斜边的一半， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：20． 16. 如图所示，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握翻折前后的对应的线段相等．在中，利用勾股定理可求得的长，进而可求得长；由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理建立方程，可求得长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是翻折得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 17. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 18. 如图，，点M、N分别在、上，且，，点P、Q分别在边、上，则的最小值是_________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理等知识．正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键． 如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，由，可得即为的最小值，由对称可知，，，，，则，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，当共线时取等号， ∴即为的最小值， ∴由对称可知，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为25， 故答案为：25． 三、解答题 19. 如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键． 根据角平分线的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：∵中，，平分，， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 21. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的地块内进行绿化改造，点D为内一点，，米，米，米，米． （1）若将原来的路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米元，请问改造此路需要花费多少元？ （2）若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米100元，那么在阴影部分区域种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）800元 （2）在阴影部分区域种植草皮共需投入9600元 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练运用相关定理是解答本题的关键． （1）运用勾股定理求出的长，再乘以80即可得出结果； （2）由勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据求出阴影部分的面积，最后乘以100即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，米，米， ∴米， ∴改造此路需要费用：（元）， 答：改造此路需要花费800元； 【小问2详解】 解：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形， ∴平方米， 又平方米， ∴种植草皮的面积平方米， ∴种植草皮共需费用：元， 答：在阴影部分区域种植草皮共需投入9600元． 22. 如图，在长方形中，，． （1）求对角线的长； （2）点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】（1）15 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 【小问1详解】 解：由题意可知：，， 在中，； 【小问2详解】 由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，为边上一点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，，，， ∴，即， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】如图： 总费用为78万元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，最短距离问题，根据题意得到点M的位置是解题的关键． 作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K，则的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省，再由平行线的性质，可得千米， 千米，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K， ∴千米，， ∴， 即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵， ∴， 由平行线间距离处处相等可得： 千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴此时总费用为万元． 25. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； （2）6 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次质量检测 七年级数学试题 （时间：120分钟，满分120分） 注意事项： 1.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置． 2.必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 第Ⅰ卷（30分） 1. 七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 5cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，8cm 3. 一个三角形的两边长分别为3和6，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（    ） A. B. C. D. 4. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则的值是（ ） A. 130 B. 106 C. 100 D. 86 6. 一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（    ） A. B. C. D. 7. 下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（    ） A. ①④ B. ①③ C. ①② D. ②④ 8. 园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（    ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 10. 如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题（共8题，11至14每题3分，15至18每题4分，共28分） 11. 如图，，，与关于直线对称，则________． 12. 如图，内有一点P，P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于A、B点．若的长为16，则的周长为______ ． 13. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断前的高度是__________． 14. 三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是______． 15. 如图，于点B，于点C，E是上一点，，，，则_________.  16. 如图所示，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，则的长为_________． 17. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 18. 如图，，点M、N分别在、上，且，，点P、Q分别在边、上，则的最小值是_________． 三、解答题 19. 如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数． 20. 如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 21. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的地块内进行绿化改造，点D为内一点，，米，米，米，米． （1）若将原来的路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米元，请问改造此路需要花费多少元？ （2）若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米100元，那么在阴影部分区域种植草皮共需投入多少元？ 22. 如图，在长方形中，，． （1）求对角线的长； （2）点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，为边上一点．求证： （1）； （2）． 24. 如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 25. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $