专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与模型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与模型分类讲解） 一、【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 二、【基本模型】 （1）背靠背型 图（1） 如图（1）若，设，则，由,得方程： （2） 母子型 图（2） 如图（2）若，设，则，由,得方程： 图（3） 如图（3）若，设，则，由,得方程： （3） 拥抱型 图4 如图（4）若，设，则，由,得方程： （4） 四边形模型 图（5） 如图（5）若，设，则，由,得方程： 图（6） 如图（6）若，设，则，由,得方程： （5） 组合模型 图（7） 如图（7）设，若，，则， 由,得方程： 二、【‌解题步骤】 （1）‌审题‌：首先，需要明确题目中的已知条件和未知量，并画出正确的平面图或截面示意图； （2）‌构造直角三角形‌：将已知条件转化为示意图中的边角关系，如果不能直接体现，则需要添加适当的辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）‌列关系式‌：根据直角三角形的元素（边、角）之间的关系，列出相关的数学关系式或方程进行求解； （4）‌检验‌：解题完毕后，检查所求数据是否符合实际意义，并注意结果是否满足题目中的精度要求。 考点与题型目录 【考点一】模型分类 【题型1】背靠背型............................................................3 【题型2】母子型..............................................................4 【题型3】拥抱型..............................................................5 【题型4】四边形模型..........................................................6 【题型5】组合模型............................................................7 【考点二】直通中考与拓展延伸 【题型6】直通中考............................................................9 【题型7】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】背靠背型 【例1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【变式2】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【题型2】母子型 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 【变式2】（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【题型3】拥抱型 【例3】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【变式1】（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，某地为方便群众步行健身，决定对一段如图所示的坡路进行改造．改造前的斜坡米，坡角，将斜坡的高度降低20米（即米）后，斜坡改造为斜坡，且．求斜坡的长（结果保留根号．）    【变式2】（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【题型4】四边形模型 【例4】（2024·安徽·模拟预测）某海域有两个海拔均为米的海岛A和海岛，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为米的空中飞行，飞行到点处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是，然后沿平行与的方向水平飞行米到达点处，在处测得正前方另一海岛顶端的俯角是，求两海岛间的距离． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【变式2】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【题型5】组合模型 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．   (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【例2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与模型分类讲解） 一、【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 二、【基本模型】 （1）背靠背型 图（1） 如图（1）若，设，则，由,得方程： （2） 母子型 图（2） 如图（2）若，设，则，由,得方程： 图（3） 如图（3）若，设，则，由,得方程： （3） 拥抱型 图4 如图（4）若，设，则，由,得方程： （4） 四边形模型 图（5） 如图（5）若，设，则，由,得方程： 图（6） 如图（6）若，设，则，由,得方程： （5） 组合模型 图（7） 如图（7）设，若，，则， 由,得方程： 二、【‌解题步骤】 （1）‌审题‌：首先，需要明确题目中的已知条件和未知量，并画出正确的平面图或截面示意图； （2）‌构造直角三角形‌：将已知条件转化为示意图中的边角关系，如果不能直接体现，则需要添加适当的辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）‌列关系式‌：根据直角三角形的元素（边、角）之间的关系，列出相关的数学关系式或方程进行求解； （4）‌检验‌：解题完毕后，检查所求数据是否符合实际意义，并注意结果是否满足题目中的精度要求。 考点与题型目录 【考点一】模型分类 【题型1】背靠背型............................................................3 【题型2】母子型..............................................................7 【题型3】拥抱型.............................................................10 【题型4】四边形模型.........................................................14 【题型5】组合模型...........................................................18 【考点二】直通中考与拓展延伸 【题型6】直通中考...........................................................22 【题型7】拓展延伸...........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】背靠背型 【例1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 【变式2】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)文峰塔的高度约为；(2)小宇先到达塔底． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答． 解：（1）设与相交于点， 由题意得： ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 文峰塔的高度约为； （2）解：小宇先到达塔底，理由如下： 设与相交于点， 由题意得： ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小宇的速度为，小航速度是其2倍， 小航的速度为， ，， ， 小宇先到达塔底． 【题型2】母子型 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，两座建筑物的水平距离，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度． 【答案】的高度为，的高度为 【分析】此题考查了解直角三角形的仰角、俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长，交点所在水平线于点，则四边形是矩形，在中，利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，则可求解． 解：如图，延长，交点所在水平线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， 答：建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米．根据，得到，然后在中得到求得，然后在中，利用勾股定理求得即可．解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 解：设米， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在中，（米）， ∴条幅的长度约为米． 【变式2】（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可． 解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米， ，（米）．     在中，， ，（米）． （米）． 答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 【题型3】拥抱型 【例3】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 【变式1】（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，某地为方便群众步行健身，决定对一段如图所示的坡路进行改造．改造前的斜坡米，坡角，将斜坡的高度降低20米（即米）后，斜坡改造为斜坡，且．求斜坡的长（结果保留根号．）    【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理等知识点，掌握坡度的概念是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求解即可． 解：在中，米， 则米， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴米， 由勾股定理得：米． ∴斜坡的长米． 【变式2】（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 解：（1）∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 【题型4】四边形模型 【例4】（2024·安徽·模拟预测）某海域有两个海拔均为米的海岛A和海岛，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为米的空中飞行，飞行到点处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是，然后沿平行与的方向水平飞行米到达点处，在处测得正前方另一海岛顶端的俯角是，求两海岛间的距离． 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形应用——俯角．借助俯角构造直角三角形，熟练掌握矩形的性质，锐角三角函数定义解直角三角形，是解此题的关键． 首先过点A作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，根据矩形的性质，可得，，由题意可知：米，米，然后分别在与中，利用三角函数即可求得与的长，继而求得两海岛间的距离． 解：过点A作于点，过点作于点， ， ， 四边形为矩形． ，． 由题意可知：（米），（米） 在中，，米． （米）． 在中，，米． （米）． （米）． 答：两海岛间的距离为米． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米； (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 解：（1） ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 【变式2】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为； (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解；（2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 解：（1）由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 【题型5】组合模型 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出； （2）解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 解：（1）如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ，在中，米，， ∴，即， 米， 答：坡顶到地面的距离为米； （2）由（1）知，米， 米， 在中，， 是等腰直角三角形， 米， 在中，，， （米， （米． 即建筑物的高度约为米． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米； (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 解：（1） ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)；(2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 解：（1）∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．   (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 解：（1）过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2） 解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由圆弧的中点可得，由平行可得，由中点可得，即可得到，再在中求出的长度，最后根据计算即可； （2）求出到木马向前的最大安全角时刚好碰到时到距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角的距离长度最小值． 解：（1）过作于， ∵为半径的圆弧的中点接触地面， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， 由（1）可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴的长为， ∴马静止时到墙角的距离长度最小值为． 【例2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰梯形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过作于，先根据四边形是等腰梯形求出的长度，在求出，过作于，交过的水平线于，求出的长度，最后在中，求出的长度即可； （2）只需要，故，解得，所以即可求解． 解：（1）过作于， ，， 四边形是等腰梯形， ， 在中，， 过作于，交过的水平线于， 由题意得：，， 根据，，， 在中，， 所以，壶嘴的长度为； （2）解：壶嘴与水平面夹角为， 则， 故，依题意即可成立，故， 当时，取最小值为，即， 所以，的取值范围为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$