精品解析：山东省济南市济阳区2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级期中数学试题 （共25个小题，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升．如图，升体近似看作长方体，手柄近似看作圆柱体，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看到的是 故选：D． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：D． 3. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把点代入中得：，解得， 故选：A． 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即，解得：， ∴另一个根是， 故选：． 5. 在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（ ） A. 两组对边分别相等 B. 一组邻边相等 C. 两条对角线相等 D. 一组邻角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对角分别相等，∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列表．画出树状图，用取出的两个球都是红球的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况， ∴取出的两个球都是红的概率为：． 故选A． 7. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于O，可证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于O， 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是条件的关键． 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 二、填空题 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 12. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形面积的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：2． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 __． 【答案】 【解析】 【详解】针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比． 【解答】解：设两直角边分别为x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x， 所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2， 则针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 15. 如图，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），点C在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，且CD＝2AB，则k的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H，过点D作DT⊥OH于T，过点C作CG⊥DT于G．易证明△BOA∽△AHC，则可得AH＝2CH，设CH＝m，AH＝2m，则C（1+2m，m），再证明CG＝2，DG＝4，可得D（2m﹣1，m+4），再根据方程求出m即可解决问题． 【详解】如图，过点C作CH⊥x轴于H，过点D作DT⊥OH于T，过点C作CG⊥DT于G． ∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， ∵AC⊥AB， ∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， ∴△BOA∽△AHC， ∴＝， ∴AH＝2CH， 设CH＝m，AH＝2m， 则OH=OA+AH=1+2m， ∴C（1+2m，m）， ∵CD∥AB，CG∥OA， ∴∠DCG＝∠BAO， ∵∠DGC＝∠BOA＝90°， ∴△BOA∽△DGC， ∴＝＝＝， ∴CG＝2，DG＝4， ∵∠CGT=∠DTH=∠CHT=90゜， ∴四边形CGTH是矩形， ∴GT=CH=m，TH=CG=2， ∴DT=GT+DG =m+4，OT=OH-TH =1+2m-2=2m-1， ∴D(2m﹣1，m+4)， ∵D，C在反比例函数y＝上， ∴（1+2m）•m＝（2m﹣1）•（m+4）， 解得m＝， ∴， ∴k＝， 故答案为：． ． 【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的特征，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用平方差公式分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 【答案】AB＝6米． 【解析】 【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答． 【详解】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， 则△ABE∽△CDE， 则，即， 解得：AB＝6米． 答：树AB的高度为6米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见继续 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20. 已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值及的周长； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）；5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是原方程的解，则把代入原方程中求出m的值，进而解方程求出的长，再根据平行四边形周长计算公式求解即可； （2）根据题意可知原方程有两个相等的实数根，则利用判别式求出m的值，进而解方程求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且， ∴， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得或， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵，四边形是菱形， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得， ∴，即菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根的判别式，菱形的性质和平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【答案】（1）养鸡场的宽是10m，长为15m； （2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，理由： 设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x（35﹣2x）＝200， 整理得：2x2﹣35x+200＝0， △＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到200m2． 【解析】 【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x（35﹣2x）＝150， 解得：x1＝10，x2＝7.5， 当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18， 当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去）， 则养鸡场的宽是10m，长为15m． （2）略 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当_______时，是以为顶角的等腰三角形； （2）当_______时，是直角三角形； （3）的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，由题意，，则，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）当时，可证明，当时，可证明，两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可； （3）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴． 由题意，， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴，， 解得：． 综上所述或时，是直角三角形； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形的定义，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 23. 阅读材料:各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得 即 解这个方程得： 检验：当时，原方程左边，右边 不是原方程的根； 当时，原方程左边，右边 原方程的根 原方程的根是． （1）请仿照上述解法，求出方程的解； （2）如图已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，从草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点，则 ． 【答案】（1）原方程的解是；（2）． 【解析】 【分析】（1）通过移项，再两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为x米，根据勾股定理和BP＋CP＝20，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解． 【详解】（1）解：移项，得 方程两边平方，得，即， 解方程，得或 经检验：是原方程的解 所以原方程的解是． （2）设AP=x米，则PD=(16-x)m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6m， ∵BP+CP=20， BP=， 即 ∴ 两边平方得： 整理得： 两边平方得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的解 所以原方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根，解决（2）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 25. （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中数学试题 （共25个小题，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升．如图，升体近似看作长方体，手柄近似看作圆柱体，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 3. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（ ） A. 两组对边分别相等 B. 一组邻边相等 C. 两条对角线相等 D. 一组邻角相等 6. 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 12. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为________． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 __． 15. 如图，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），点C在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，且CD＝2AB，则k的值为__． 三、解答题 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 17. 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20. 已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值及的周长； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当_______时，是以为顶角的等腰三角形； （2）当_______时，是直角三角形； （3）的面积为，求的值． 23. 阅读材料:各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得 即 解这个方程得： 检验：当时，原方程左边，右边 不是原方程的根； 当时，原方程左边，右边 原方程的根 原方程的根是． （1）请仿照上述解法，求出方程的解； （2）如图已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，从草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点，则 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 25. （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $