精品解析：广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024学年广州空港实验中学高一期中考数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列是指数函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，③ C. ①，②，③ D. ①，②，③ 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，的否定是_____________ 13. 已知，则的定义域为________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数的值组成的集合. 16. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知二次函数,. （1）若，求在上的值域； （2）求在上的最小值. 18. 某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利． （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目； ②纯利润最大时，以万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年广州空港实验中学高一期中考数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 下列是指数函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得. 【详解】由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集， 由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”. 故选：B. 4. 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，③ C. ①，②，③ D. ①，②，③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 7. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 8. 设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值. 【详解】令，解得或， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最小值，此时， 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤： （1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标； （2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象； （3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于选项C：因为，，，满足，但，故选项C不正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BD 10. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得. 所以. 即. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合赋值法计算判断ABC；结合选项C的结论，分段探讨的取值情况判断D. 【详解】对于A，令，得，则， 由在上单调递增，得不恒为1，因此，A正确； 对于B，令，得，则， 而，因此，B正确； 对于C，，取，则， 即有，因此函数是偶函数，又时，， 则函数不是奇函数，C错误； 对于D，，令，则， 当时，；当时，，，， 因此，当时，，， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，的否定是_____________ 【答案】， 【解析】 【分析】特称命题的否定，先特称变全称，再否定结论即可. 【详解】， 故答案为：， 13. 已知，则的定义域为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以的定义域为且. 故答案为：且. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为________ 【答案】或 【解析】 【分析】运用偶函数在对称区间单调性相反，分类讨论，列不等式组计算即可. 【详解】因函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减， 则在上为增函数，由，则， 由，则或，则或 解得或， 则不等式的解集为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数的值组成的集合. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程求集合A，然后由子集定义即可得答案； （2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解. 【小问1详解】 由解得或， 所以， 所以集合的所有子集为，，，. 【小问2详解】 由得， ①当时，，满足条件. ②当时，，因为， 所以或，解得或. 综上，实数的值组成集合为. 16. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 所以； 【小问2详解】 由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 17. 已知二次函数,. （1）若，求在上的值域； （2）求在上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于第一问，当时，先确定函数在上的单调性，进而求出值域. （2）对于第二问，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论求出最小值. 【小问1详解】 当时，. 对称轴在区间内.当时，取得最小值. 当时，.当时，. 所以在上的最大值为，最小值为，值域为. 【小问2详解】 函数的对称轴为. 当时，函数在上单调递增. 所以在上的最小值. 当时，在处取得最小值. 所以. 当时，函数在上单调递减. 所以. 在上的最小值. 18. 某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利． （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目； ②纯利润最大时，以万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由． 【答案】（1），从第年起开始盈利 （2） 若选择方案①，设年平均利润为万元，则， 当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值， 此时该项目共获利（万元）． 若选择方案②，纯利润， 所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）． 以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可； （2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案. 【小问1详解】 由题意可知， 令，得，解得， 所以从第年起开始盈利； 【小问2详解】 略 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由（1）知. 任取、且，即，则，， 所以，， 则，所以，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得. （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增. （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由于奇函数在处有定义，所以，， ，. 经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以对于任意的恒成立, 即对于任意的恒成立, 所以，解得或, 所以的取值范围为. 【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $