2025届高考数学二轮专题复习-高考中三角函数综合问题的热点题型-专项训练

2025高考数学二轮专题复习-高考中三角函数综合问题的热点题型-专项训练 【A级　基础巩固】 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin(B－C)的值． 2．在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin(B＋C)＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5(sin A＋sin C)b＝12asin C． (1)若a＝2b－c，求cos B的值． (2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由． 【B级　能力提升】 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(b－c)(sin B－sin C)＝asin A－bsin C． (1)求角A的大小； (2)求sin B＋sin C的取值范围． 3．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知＝1. (1)求角A的大小； (2)若点D在边BC上，AD平分∠BAC，AD＝2，且b＝2c，求a. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2csin B＝(2a－c)tan C，角C的内角平分线与边AB交于点E. (1)求角B的大小； (2)记△BCE，△ACE的面积分别为S1，S2，在①c＝2，b＝，②S△ABC＝，b＝，A>C这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 参考答案 【A级　基础巩固】 1．[解析]　(1)由正弦定理＝，得＝， 解得sin B＝. (2)解法一(余弦定理)：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A． 即39＝4＋c2－4ccos 120°， 整理得c2＋2c－35＝0， 解得c＝5或c＝－7(舍去)． 所以c＝5. 解法二(射影定理)：第1步：根据同角三角函数的基本关系，求出cos B 因为A＝120°，所以B，C均为锐角， 所以cos B＝＝. 第2步：利用三角形的射影定理求c 由射影定理得，c＝acos B＋bcos A＝×＋2×＝6－1＝5. (3)由正弦定理＝，可得sin C＝， 又B，C均为锐角，所以cos C＝＝，cos B＝＝，(若第(2)问采用解法二，则cos B可直接用) 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－. 2．[解析]　若选①，则A＝π－3B，且A<B<C． 由＝，得＝，即＝， 所以2sin 3B＝sin B，化简得2(3sin B－4sin3B)＝sin B，得sin2B＝， 因为B∈(0，π)，所以sin B＝，因为A<B<C， 所以角B为锐角，所以cos B＝＝， 所以sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝， 所以由正弦定理得c＝＝＝. 若选②，则由△ABC的面积为，a＝1，b＝2，得absin C＝sin C＝，所以cos C＝±＝±. 当C为锐角时，cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝2，所以c＝；当C为钝角时，cos C＝－，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4＋2×1×2×＝8，所以c＝2. 综上c＝或c＝2. 若选③，由sin(B＋C)＝，得sin A＝， 由＝，得sin B＝＝＝>1，所以三角形不存在． 3．[解析]　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos＝cos， 又A∈，B∈， 所以<A＋<，<B＋<， 所以A＋＝B＋，即B＝A＋，又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，则A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，又∠ABC＝∠DBA＋∠DBC＝A＋，所以∠DBC＝. 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋∠ABC)＝sin， 因为△ABC为锐角三角形， 所以 所以<2A＋<，所以<sin<1， 所以∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)． 4．[解析]　判断三角形是否存在 (1)因为a＝2b－c，所以a＋c＝2b，又5(sin A＋sin C)b＝12asin C， 由正弦定理得5(a＋c)b＝12ac，所以＝， 所以由余弦定理得cos B＝＝－1＝×－1＝. (2)假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由题意结合正弦定理可得，(sin A＋sin C)sin B＝sin A·sin C， 即sin A＋cos A＝sin 2A， 上式两边平方得1＋sin 2A＝sin22A， 所以(9sin 2A＋5)(4sin 2A－5)＝0，因为0<sin 2A≤1， 所以9sin 2A＋5>0,4sin 2A－5<0， 与(9sin 2A＋5)(4sin 2A－5)＝0矛盾， 故不存在△ABC满足B为直角． 【B级　能力提升】 1．[解析]　由题意知S△ABC＝，BD＝DC，∴S△ADC＝. (1)∵S△ADC＝DA·DC·sin ∠ADC＝，DA＝1，∠ADC＝，∴DCsin ＝，∴DC＝2， ∴BD＝2，易知∠ADB＝， 在△ADB中，由余弦定理可知，AB2＝BD2＋DA2－2DA·DBcos ∠ADB，即AB2＝22＋12－2×1×2×＝7， ∴AB＝， ∴cos B＝＝＝， ∴sin B＝＝＝， ∴tan B＝＝. (2)如图所示，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE， 易得四边形ABEC为平行四边形，∴AB＝CE，AC＝BE， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，AE2＝AC2＋CE2－2AC·CEcos∠ACE，两式相加得BC2＋AE2＝2(AB2＋AC2)，即BC2＋AE2＝2(b2＋c2)＝16， 又AE＝2AD＝2，∴BC2＝12，∴BC＝2， ∵S△ADC＝AD·DC·sin∠ADC＝，AD＝1，DC＝， ∴sin∠ADC＝1，∴AD⊥BC，∴b＝c， 又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. 2．[解析]　(1)由正弦定理可得(b－c)(b－c)＝a·a－bc，即b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理的变形得cos A＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝； (2)由A＋B＋C＝π得C＝－B，且B∈， 所以sin C＝sin＝sin＝sin， 所以sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin， 因为B∈，从而B＋∈，所以sin∈，从而sin B＋sin C∈， 故sin B＋sin C的取值范围为. 3．[解析]　(1)因为＝1， 即2＋bc＝b2＋c2， 化简可得a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以2cos A＝1⇒cos A＝，且A∈(0，π)，则A＝. (2)由(1)知A＝，由余弦定理可得cos A＝，将b＝2c代入， 化简可得a＝c， 又因为AD平分∠BAC，由角平分线定理可得＝，即＝⇒＝⇒CD＝2BD，且a＝c，所以CD＝c，BD＝c， 又因为∠ADB＋∠ADC＝π， 则cos∠ADB＝－cos∠ADC，结合余弦定理可得＝－，解得c2＝3，所以c＝，则a＝c＝3. 4．[解析]　(1)因为2csin B＝(2a－c)tan C， 由正弦定理可得2sin Csin B＝(2sin A－sin C)， 即2sin Bcos C＝2sin A－sin C 又由sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 可得2cos Bsin C＝sin C， 因为C∈(0，π)，可得sin C>0，所以cos B＝， 又因为B∈(0，π)，可得B＝. (2)选①：因为c＝2，b＝， 由余弦定理可得cos B＝＝＝， 整理得a2－2a＋1＝0，解得a＝1， 因为CE为∠ACB的平分线，令∠ACE＝∠BCE＝θ， 则S1＝BC·CEsin θ＝×1×CEsin θ，S2＝AC·CEsin θ＝××CEsin θ， 所以＝＝，故的值为. 选②：S△ABC＝，b＝，A>C， 由S△ABC＝acsin B＝acsin ＝，解得ac＝3， 又由b＝，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， 即7＝a2＋c2－2×3×，可得a2＋c2＝10， 又因为A>C，可得a>c，所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝10＋2×3＝16，即a＋c＝4， 联立方程组解得a＝3，c＝1， 由CE为∠ACB的平分线，令∠ACE＝∠BCE＝θ， 所以S1＝BC·CEsin θ＝×3×CEsin θ，S2＝AC·CEsin θ＝××CEsin θ， 所以＝＝，故的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$