山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

青岛二中2024一2025学年第一学期期中考试高一数学试题 命题人：程志刘硕宋子晨审核人：程志 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 1.命题“xeR,x3+-2>0"的否定是() A.3rER,x3+x-2≤0 B.3xeR,x2+x-2≤0 C.xeR,x3+x-2≤0 D.xgR,x3+x-2≤0 -得o-得e= 2. 则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好， 隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数 的解析式来研究通数的图象特征函数闪)女二的困家大致为 2 . 已知函数因三2集合A=0-@叫，B=化a-2,2a-24,若ASB 则f(a)=() 4 A.1 B.0 C.4 D. 9 5.“a≤3”是“函数f(x)=Vx2-ar+1在区间[2，+oo)上单调递增”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充要条件 D.既不充分又不必要条件 高一数学多 6。已知函数/)的定义城为(4,28)，则函数g(付)=一- 的定义域为() vx-3.vx+3 A.(4,28) B.(-6,-3)U(3,6)C.(3,6) D.(-3,-3U(2,3) 元已知函数f问)=+中！，函数y=g问-1是定义在R上的奇函数，若因与g冈 的图象的交点分别为（名，为2…，(x3yg),则(x+…+x)-(y+…+)=() A.-8 B.-4 c.0 D.2 8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2,且对于任意为>，2>0，有 本了（名）-x(4)>2x-2x,若函数3树=)-2，则下列说法E确的是() A.g(x)在(0，+∞)上单调递减 B.g(x)为偶函数 C.g(4)<g(-3) D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a<b<0,c>d,下列说法正确的是( A.a-c<b-d B.< 1、1 C. D.a+bsa'b'+ab2 a b 10.定义在实数集上的函数D(x)= 1,xEQ 称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国 0,xEQ 数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数D(x)的说法 中正确的是() A.D(x)的值域为0，刂 B:对任意x∈R,都有D(x)=D(-x) C.存在无理数6，对任意x∈R,都有D(x+)=D(x) D.若a<0,b>l,则有{xD(x)>a={xD(x)<b} 1页，共2页 11.已知ax2+bx+c>0的解集是(-2,3)，则下列说法正确的是( A.b+3c>0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集 (》 12 C. +3a+c的最小值是43-4 3b+4 D.当c=2时，若f(x)=3ax2+6bx,xe[h,n2]的值域是[-3，]，则n2-%∈[2,4] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知幂函数f(x)=x-(n∈Z)的图象关于y轴对称，且f(-1)<f(3),则n a已阳圆数闪=g间是号a创-亿日治著-a与 y=max{f(x)g(x)}(x≠0)的图象恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围是 14.已知函数f满足：对任意非零实数x,均有f(9=∫0x+②-2，则f在 (0.+o)上的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 的定义域为A,集合B={x3x-2>1} (I)求AUB: (2)集合C={x1一a<x<a},若CCCB,求实数a的取值范围 16.(15分)已知函数f(x)=x2-2ar-3a2,a∈R (1)若a=0,且2g(3-x)-g(x)=f(x),求出g(x)的解析式： (2)解关于x的不等式∫(x)<0. n.05分》已知通数f)-号是定义在[-1川上的商高数。 (I)求实数a的值： 高一数学第 (2)判断f(x)在[-1，上的单调性，并用单调性定义证明： (3)设g(x)=f(x,解不等式g(21-1)>8(1-) 18.(17分)萝卜快跑，作为全球领先的自动驾驶出行服务平台，是百度Ap0lo的重要落地 应用，它在无人驾驶领域扮演着先行者和创新者的角色，其自动刹车的工作原理是用雷达测 出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时 就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车若将报警时间划分为四段，分别为准各时间。、 人的反应时间，、系统反应时间1.、制动时间上，相应的距离分别为d,4,4,4:如下图 所示当车速为v(米/秒)，且v∈(0,33.3引时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其 中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1,2]) 阶 ①准备 ②人的 ③系统 段 反应 ④制动 反应 nn,报编距淘dn4 时 to 4=0.8 42=0.2 危险距离一 秒 秒 "d d2* d=10 v2 d d, d3= 离 米 20k 3 米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)；并求当k=2,在 汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车 撞上固定障碍物的最短时间： (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限 制在多少米秒？ 19.(17分)对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足：①在[a,b]上是单调函数， ②函数y=f(x)在[a,b的值域是[a,b,则称区间[a,b]为函数的“保值”区间 (1)求函数∫(x)=x的所有“保值”区间： (2)判断函数g(x)=1-1是否存在“保值”区间，并说明理由： 9E数-仁一cR:到有保g”g小，当A家对 最大值时求a的值 页，共2页高一数学 第 1 页，共 4 页 青岛二中 2024—2025 学年第一学期期中考试 高一试题答案（数学） 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 解析：由复合函数单调性可得，   22 2 2 1 0 2 2 f a a x          ，解得 5 2 a  ，则 2a  是 5 2 a  的必要不充分条件. 故选：B. 6．【答案】C 解析：因为函数 ( )f x 的定义域为 ( 4,28) ， 24 8 28x    ，    6, 3 3,6x    ， 又因为 3 0 3 3 0 x x x       ，则函数 ( )g x 的定义域为 (3,6) 故选：C 7.【答案】A 解析：因为 1 ( ) 1f x x x    ，∴ )(xf 与 )(xg 的图像都关于点 )10( ，中心对称， 因为 0821  xxx ， 1 2 8 8y y y    ， 所以 1 2 8 1 2 8( ) ( ) 8x x x y y y          ， 故选 A 8．【答案】D 解析：对于任意 1 2 0x x  ，    2 1 1 2 2 12 2x f x x f x x x   ，所以 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) f x f x g x g x x x      ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递增，故选项 A 错误； 对于任意 0x  ，      2 2( ) f x f xg x g x x x           ，又因为定义域对称，所以  g x 为奇函数，故选项 B 错误； 因为 ( )g x 的定义域为 ( ,0) (0, )  ，所以 ( ) 2 ( ) 2( ) ( )f x f xg x g x x x           ， 所以 ( )g x 为奇函数，所以 ( 3) (3)g g  ，由 ( )g x 在 (0, ) 上单调递增，所以 ( 3) (4)g g  ， 故选项 C 错误； 对于任意 1 2 2x x  ，            1 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2f x f x x g x x g x x g x x g x                    1 2 2 2 1 2 2x g x x g x x x g x    ，因为 1 2 2x x  ， (2) 2f  ，所以    1 2 20, 2 0x x g x g    ，所以    1 2f x f x ，所以 ( )f x 在 (2, ) 上单调递增， 故选项 D 正确； 故选：D 9．【答案】ACD 10．【答案】BD 【详解】对于选项 A：由题意，函数   1 Q 0 Q x D x x     ， ， ，可得函数的值域为 0 1，，故A 错误； 对于选项 B：若自变量 x是有理数，则 x 也是有理数，此时     1D x D x   ,若自变量 x 是无理数，则 x 也是无理数，此时     0D x D x   ，故 B 正确； 高一数学 第 2 页，共 4 页 对于选项 C：当 0t 为无理数，若 x为有理数，则 0x t 为无理数，若 x为无理数，则 0x t 可能 为有理数，也有可能是无理数，不满足    0D x t D x  ，所以C错误； 对于选项 D：由   1, 0, R x Q D x x Q      ，可得函数  D x 的值域为 0,1 ，当 0a  时，   x D x a R  ，当 1b  时，   x D x b R  ，故      x D x a x D x b   ， 所以 D 正确． 故选:BD. 11. 【答案】ABD 由题意可知： 2,3 是关于 x的方程 2 0ax bx c   的两根，且 0a  ，则 1 6 b a c a        ，可得 , 6 , 0b a c a a     . 对于选项 A： 3 19 0b c a    ，故 A 正确； 对于选项 B：不等式 2 0cx bx a   化为： 26 0ax ax a    ，由 0a  可得 26 1 0x x   ， 解得 1 1 3 2 x   ，所以不等式 2 0cx bx a   的解集为 1 1 , 3 2      ，故 B 正确； 对于选项 C：因为 0b  ，3 3 3a c a b    ，可得 12 12 12 12 1 3 3 (3 4) 4 2 (3 4) 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 a c b b b b b b b                   ， 当且仅当 12 (3 4) 3 4 b b    ，即 0 4 2 3 3 b    时，等号成立，但与 0b  矛盾，所以 12 3 3 4 a c b    的最小值不是是4 3 4 ，故 C 错误； 对于选项 D：当 2c  时， 1 3 b a   ，则 2 2 2( ) 3 6 2 ( 1) 1f x ax bx x x x         ，当 1x  时， ( )f x 取到最大值 (1) 1f  ，因为 1 21n n  ，由 ( ) 3f x   得， = 1x  或 3x  ，因 ( )f x 在 1 2,n n 上的最小值为 3 ，从而得 1 21,1 3n n    或 1 21 1, 3n n    ，因此 2 12 4n n   ，D 正确. 故选：AD 12．【答案】2 解析：由题知，幂函数  f x 在  0, 上单调递增，所以 24 0n n  ，解得0 4n  .又 因为n Z ，所以 1, 2,3n  .函数的图象关于 y轴对称，所以  f x 为偶函数，当 1,3n  时， 不符合题意，当 2n  时，符合题意. 故答案为：2. 13. 【答案】 2 1m    或 1m  解析：当    f x g x ，即 1 2x x   ，解得 1 0x   或 2x  ，此时    F x f x ；当    f x g x ，即 1 2x x   ，解得 1x   或0 2x  ，此时    F x g x 所以           1, 1,0 2, 2 , , 1 0, 2 x x F x x x               ，作出函数的图像，如下： 关于 x的方程  F x m 恰有两个不相等的实数根，由图知， 2 1m    或 1m  . 故答案为： 2 1m    或 1m  . 14. 【答案】2 3 2 解：因为对任意非零实数 x，均有 (2) ( ) (1) 2 f f x f x x     ，所以 (1) (1) (2) 2f f f   ， 高一数学 第 3 页，共 4 页 解得 (2) 2f  ，所以 (2) (2) 2 (1) 2 2 f f f   ，解得 3 (1) 2 f  ，所以   3 2 2 2 f x x x    ， 所以，当 0x  时， 3 2 3 2 ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 f x x x x x         ，当且仅当 3 2 2 x x  时， 即 2 3 3 x  时，等号成立，即 ( )f x 在 (0, ) 上的最小值为2 3 2 ． 故答案为：2 3 2 ． 解答题： 15. (1) 3 1 4 A xB x x        ∣ 或 (2) 2 3 a  解析：(1)因为函数   54 2 f x x    ，所以     2 4 3 2 05 3 4 0 0 2 2 42 4 3 x x x x xx x x                 或 ，所以 3 2 4 xA x x         或 . 因为集合  3 2 1B x x  ∣ ，所以 13 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 x x x x x          或 或 ， 所以 1 1 3 B x x x        ∣ 或 , 3 1 4 A xB x x        ∣ 或 . (2)因为集合 1 1 3 B x x x        ∣ 或 ，所以 1 1 3R C B x x        ∣ ，又因为 RC C B ， ①当C  时，可得 1 1 2 a a a    ； ②当C  时，可得 1 2 1 1 2 3 1 3 a a a       .综上， 2 3 a  . 16. (1)   2 4 6g x x x   (2)见解析 解析：(1) 当 0a  时，     22 3g x g x x   ，赋值 x为3 x ，得      22 3 3g x g x x    ，将上两式联立，得   2 4 6g x x x   . (2)   2 2 032 3x x a xax aa     ①当 0a  时，解集为空集；②当 0a  时，解集为  3 ,a a ；③当 0a  时，解集为  ,3a a . 综上，当 0a  时，解集为  3 ,a a ；当 0a  时，解集为  ,3a a . 17. (1) 0a  (2)见解析(Ⅲ) 2 ,1 3    解析：(1)因为  f x 为奇函数，所以  0 0 0f a   .经检验，符合题意. (2)函数  f x 在 1,1 上单调递增，证明如下：  1 2, 1,1x x   且 1 2x x ，                   2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 44 4 4 4 2 2 2 24 4 f x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x f xx                 因为          1 2 1 2 1 2 1 24 , 2 , 2 , 2 , 2 0, 0x x x x x x x x        所以        1 2 1 20f x f x f x f x    所以函数  f x 在 1,1 上单调递增. (3)因为函数  f x 在 1,1 上单调递增，  0 0f  ，所以当 0x  时，   0f x  ；当 0x  时，   0f x  .因为    g x f x ，所以  g x 是 1,1 上的偶函数，且  g x 在 1,0 上 单调递减，在 0,1 上单调递增.    2 1 1 1 2 1 1g t g t t t        高一数学 第 4 页，共 4 页 解得 2 1 3 t  .解集为 2 ,1 3    . 18. (1) 2 ( ) 10 , (0 33.3] 20 v d v v v k     ， ，2 秒 (2) 20 米/秒 解析：(1)由题意得 3210)( ddddvd  ，∴ k v v k v vvvd 20 10 20 2.08.010)( 22  ， ]3.330( ，v .当 2k 时， 40 10)( 2v vvd  ， 21 40 10 21 40 10)( )(  v v v vv vd vt （秒）， 当且仅当 40 10 v v  时，即 20v 时，取等号（最小值），即此种情况下汽车撞上固定障碍物 的最短时间约为 2秒； (2)根据题意要求对于任意 ]21[ ，k ， 50)( vd 恒成立，即对于任意 ]21[ ，k , 50 20 10 2  k v v ，即 vvk 140 20 1 2  恒成立，由 ]21[ ，k 得 ]20 1 40 1 [ 20 1 ， k ，∴ 20 1140 2  vv ， 即 080202  vv ，即 0)20)(40(  vv ，解得 2040  v ，又 0v ，∴ 200  v ，∴ 要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在 20 米/秒. 19. (1)  0,1 (2)见解析(3) 3a  解析： (1) 因为函数 2y x 的值域是 0, ，且 2y x 在 ,a b 的最后综合讨论结果，即可 得到值域是 ,a b ，所以   , 0,a b   ，所以 0a  ，从而函数 2y x 在区间 ,a b 上单调递 增，故有 2 2 a a b b     ，解得 0 1 0 1 a a b b      或 或 .又a b ，所以 0 1 a b    .所以函数 2y x 的“保值”区间 为 0,1 . (2) 函数   11g x x   不存在“保值”区间，证明如下：    11 0g x x x    ，设   , 0m n x x ∣ ，可设   , ,0m n   或   , 0,m n   ，则函数   11g x x   在 ,m n 上单调递增.若 ,m n 是  g x 的“优美区间”，则 1 1 , , 1 1 m m m n n n         是方程 2 1 0x x   的两个同号且不等的实数根. 2 1 0x x   方程无解.函数   11g x x   不存在 “优美区间”. (3)         2 2 1 , 0 , 0 a a x h x a a x x a x      R ∣ ，设   , 0m n x x ∣ .  h x 有“优美区间” ,m n ，    , ,0m n    或   , 0,m n   ，   2 1 1a h x a a x     在  ,m n 上单调递增.若 ,m n 是函数ℎ(𝑥)的“优美区间”，则    h m m h n n     ， ,m n 是方程 2 1 1a x a a x    ，即  2 2 2 1 0a x a a x    （*）的两个同号且不等的实数根.      22 2 2Δ 4 3 1 0a a a a a a        ， 1a  或 3a   ， 由（*）式得 2 2 2 1 1 1 , a a m n mn a a a       . 2 2 2 2 1 4 1 1 4 ( ) 4 1 3 3 3 n m n m mn a a a                       ， 1a  或 3a   ， 当 3a  时，n m 取得最大值. 3a  .