精品解析：山东省青岛第六中学2024-2025学年高一上学期期中模块测试数学试题

青岛六中2024－2025学年度第一学期期中模块测试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟.考试结束后将答题卡交回. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液.胶带纸、修正带和其他笔. 4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效. 第I卷（共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是行合题目要求的）． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则实数的值分别是（ ） A. B. C. D. 6. 若，不等式恒成立，则实数的（ ） A. 最大值是4 B. 最大值是6 C. 最小值是4 D. 最小值是6 7. 函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在上最大值为 11. 下列函数中，满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（共92分） 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______ 13. 已知函数，则__________ 14. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为______ 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1） （2） 16. 已知集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. （1）求与的解析式； （2）求函数在上的最值. （3）若不等式在上恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明. （3）求的值域. 19. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛六中2024－2025学年度第一学期期中模块测试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟.考试结束后将答题卡交回. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液.胶带纸、修正带和其他笔. 4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效. 第I卷（共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是行合题目要求的）． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的并集运算与区间表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】由存在量词命题的否定方法， 得命题的否定为. 故选：D. 3. 若，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判定方法，结合指数不等式的解法即可得解. 【详解】当时，，此时必有，即充分性成立； 当，取，此时，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有定义域和对应法则完全相同的函数才是同一函数，逐一判断各选项即可得解. 【详解】因为的定义域为， 对于A，的定义域为，与函数的定义域不一样，则A错误； 对于B，与函数的对应法则不一样，则B错误； 对于C，的定义域为，与函数的定义域不一样，则C错误； 对于D，，定义域也为，所以两函数是同一函数，则D正确. 故选：D. 5. 若不等式的解集为，则实数的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式和方程之间的关系，再利用韦达定理即可得解. 【详解】由题意得，、为方程的两个根，由韦达定理可得 解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了方程与不等式的关系，属于基础题. 6. 若，不等式恒成立，则实数的（ ） A. 最大值是4 B. 最大值是6 C. 最小值是4 D. 最小值是6 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 7. 函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的性质求解即可； 【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指对数函数的单调性，即可与中间值比较作答. 【详解】由于，，则， ， 故 故选： 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，因为，取，则，故C错误； 对于D，因为，由不等式的性质可知，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在上最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，进而利用的解析式，结合偶函数的定义与复合函数的单调性，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得，则， 对于A，因为在处无意义， 所以的图象不经过点，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知在上最大值为，故D错误. 故选：BC. 11. 下列函数中，满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据得在上单调递增，结合常见函数的单调性即可求解 【详解】由可得在上单调递增， 对于A，，当时，为单调递增，符合要求，故A正确， 对于B，在单调递减，不符合要求，故B错误， 对于C，在单调递增，符合要求，故C正确， 对于D，在单调递增，符合要求，故D正确， 故选：ACD 第II卷（共92分） 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数型复合函数与具体函数的定义域解法即可得解. 【详解】对于， 有，即，解得或. 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，则__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式从内向外分别代入计算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故答案为：2 14. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为______ 【答案】或， 【解析】 【分析】根据奇函数以及单调性可得当或，即可求解. 【详解】由于在上单调递增，，且为奇函数， 故当或，当或，， 由可得，解得或 故解集为或. 故答案为：或， 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的转化即可得解； （2）利用对数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求具体函数的定义域化简集合，从而得解； （2）利用集合交集的结果得到，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 对于，有，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以，又， 当时，，解得，满足条件； 当时，，且或，解得或； 综上，或. 17. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. （1）求与的解析式； （2）求函数在上的最值. （3）若不等式在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合幂函数与一次函数的定义即可得解； （2）利用（1）中结论得到的解析式，再利用二次函数的性质即可得解； （3）利用二次不等式恒成立问题的解法即可得解. 【小问1详解】 依题意，设，， 因为经过点，所以，解得，则，， 又经过点，且， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以，. 【小问3详解】 由，得， 即在上恒成立， 所以，解得， 故a的取值范围为. 18. 已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断的奇偶性，并证明. （3）求的值域. 【答案】（1） （2）是奇函数，证明如下: 由（1）得，由，可得， 所以函数的定义域为， 又， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）将点直接代入的解析式，解之即可得解； （2）利用函数奇偶性的定义判断和证明，结合指数幂的运算法则即可得解； （3）分类讨论当和时，求出范围，再利用不等式的性质即可得解. 【小问1详解】 因为的图象过点， 所以，解得. 【小问2详解】 是奇函数，证明略； 【小问3详解】 因为， 当时，，则； 当时，，； 所以的值域为. 19. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明：任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）略； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $