精品解析：江苏省苏州市张家港市2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷

2024-2025学年江苏省张家港市第一学期高二期中调研测试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 7. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知棱长为3的正方体，则（ ） A. B. 与所成角的大小为 C. 平面与平面的距离为 D. 平面与平面ABCD所成角的大小为 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线始终与圆相交 B. 直线被圆截得的弦长最大值为4 C. 若直线与圆相交于A，B两点，且，则 D. 若圆上有且只有四个点到直线的距离为，则 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥的体积是______. 13. 圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 （1）求证：平面 （2）若是等边三角形且，求证：平面 16. 已知的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的角平分线所在直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且， （1）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值; （2）求点B到平面PCD的距离; （3）若点M为平面PBC内的一动点，若平面PBC，求CM与平面ABCD所成角的正弦值. 18. 如图，在平行六面体中，，，， （1）当时，求证：平面 （2）当时， ①求四边形的面积; ②求与平面所成角的余弦值. 19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省张家港市第一学期高二期中调研测试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由N为BC中点，可得，由M为OA的中点，可得，利用，即可求出结果. 【详解】为BC中点，， 为OA的中点，， . 故选：B 2. 若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线l的方程为，再根据题意对直线l进行变换，即可求解． 【详解】设直线l的方程为， 现直线l沿x轴向左平移4个单位长度得， 再沿y轴向上平移2个单位长度得， 因为回到原来位置，所以，故 故选：B 3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后根据题意建立等式化简即可. 【详解】设，由题可知 故选：D 4. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出. 【详解】由题意得且， 解得. 故选：B 6. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 7. 过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线 l 夹在直线  之间的线段是 AB  在  上， B 在  上，求出A点坐标，得B坐标，联立两已知直线方程，求出交点C坐标，得，求点A到直线的距离，由三角形的面积公式即可求解. 【详解】设直线 l 夹在直线  之间的线段是 AB  在  上， B 在  上， 设，因为 AB 被点 P 平分， 所以  ，于是  ， 由于 A 在  上， B 在  上， 所以  ，解得  ，即， 而  ，则， 联立，即与交于点 则， 又点A到直线的距离为， 则三条直线围成的三角形面积为 故选：B 8. 已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，，结合垂直关系可知平面，结合长度关系可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，，， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知棱长为3的正方体，则（ ） A. B. 与所成角的大小为 C. 平面与平面的距离为 D. 平面与平面ABCD所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】如图，计算的值，即可判断A；通过向量夹角公式计算能求出直线与所成角即可判断B；由平面与平面的距离转化为点到面的距离，再利用等体积法求解即可判断C；通过平面与平面ABCD的法向量求两平面的夹角即可判断D. 【详解】以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 正方体棱长为3，则 ， 对于选项A，因为，， 所以，故A正确； 对于选项， ， 所以与所成角的大小为，故B不正确； 对于选项C，平面与平面平行， 两平面的距离可转化为点到平面的距离，则， 即，解得，故 C正确； 对于选项D，设平面的法向量， ， 则，取， 易知平面ABCD的一个法向量为， ， 所以平面与平面ABCD所成角的大小不为，故D不正确. 故选：AC 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线始终与圆相交 B. 直线被圆截得的弦长最大值为4 C. 若直线与圆相交于A，B两点，且，则 D. 若圆上有且只有四个点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出直线经过的定点，分析定点和圆的位置关系进行判断；B选项，直线能经过圆心，此时弦长最大；C选项，结合求出圆心到直线的距离，从而求解；D选项，根据当直线和圆心的距离恰好是时，有三点符合，若有四个点符合可分析出圆心到直线的距离小于. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点， 注意到在圆的外部，故直线与圆不一定相交，故选项A错误； 对于B，显然当直线经过圆心时，此时，直线被圆截得的弦长最大， 最大值为，故选项B正确； 对于C，若直线与圆相交于两点，且，圆的半径是， 在等腰直角三角形中，则圆心到直线的距离， 即，解得，故C正确; 对于D，若圆上有且只有四个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，解得，故选项D正确； 故选：BCD 11. 已知空间四面体OABC，则（ ） A. 当，则点P在平面ABC内 B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为 C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断. 【详解】对于A：若，且， 所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确； 对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体， 将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确； 对于C：因为点N在直线OC上， 若点N与点O重合，则，不满足； 若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，， 可知为异面直线，不满足； 综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误； 对于D：若，， 则 即 ， 即 ∴， 可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥的体积是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】由题意作出图形，如图所示： 则OA，OB，OC两两互相垂直，且，，， 所以三棱锥的体积是：. 故答案为： 13. 圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 14. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 （1）求证：平面 （2）若是等边三角形且，求证：平面 【答案】（1）证明：连接，且， 又在中，， ， 又平面，平面， 平面 （2）证明：因为直三棱柱， 平面ABC，又平面ABC， ， 又是等边三角形，F为BC中点， ，又，BC，平面， 平面，又平面， 在中，，， 在中，，， ， ，即， 又，，，平面， 平面 【解析】 【分析】（1）连接，利用相似比相等可证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理与性质可得，由三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的角平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. 【小问2详解】 先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. 【小问3详解】 先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且， （1）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值; （2）求点B到平面PCD的距离; （3）若点M为平面PBC内的一动点，若平面PBC，求CM与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两平面PAB与平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式计算可得； （2）由可得点B到平面PCD的距离; （3）由平面ABCD的一个法向量为，由，可得CM与平面ABCD所成角的正弦值. 【小问1详解】 平面ABCD，平面，，， 又，所以AB，AD，AP两两垂直， 以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 平面PAB的一个法向量为， 设平面PCD的法向量为，又，， ，，取，所以， ， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，， 所以. 【小问2详解】 ，设点B到平面PCD的距离为d， ， 点B到平面PCD的距离为. 【小问3详解】 为平面PBC内一动点，设， 设，又，，， 代入得，解得点， ，又平面PBC， 且，所以且， 所以，则， 所以，又平面ABCD的一个法向量为， ， 与平面ABCD所成角的正弦值为 18. 如图，在平行六面体中，，，， （1）当时，求证：平面 （2）当时， ①求四边形的面积; ②求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，，， 则， 所以，， 所以 ， 所以，即 同理， 又，，平面， 所以平面 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积可证，得，同理，由线面垂直的判定定理可证平面； （2）①由可得答案； ②先由已知条件推得为与平面所成的角，求出，，利用可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为且，， 所以，，又， ， ， 即， 所以， 所以 ②连接，交于点H，连接，AH 菱形，， 又，所以 又，，平面， 所以平面 为与平面所成的角， 又， ， ， 又，， ，所以， 所以与平面所成角的余弦值为 19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2）存在， （3）证明：由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【小问1详解】 因为，所以，直线的方程为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以 【小问2详解】 取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $