安徽省太和中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

太和中学高二年级期中考试试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 直线1:2x-3y+1-0和直线m:3x十2y-1-0的斜率分别为,-,因为×(-)--1,所以 1.A 1 n.故选A. {1+1-1-2-h>0.解得-<<-1.故选B. 3.B 由题意得 1十4十4>0. 4.D 由平面平行的判定定理易知A错误;若aa,a 3.则a/3或a二8.故B错误;由面面垂直的性质知,两 个平面垂直时,仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直,而C中直线)与平 面8的关系不确定,故5与a不一定垂直,故C错误;若3.由条件易得a/b.与二者异面矛盾,故D正确 故选D. $ a.故|MF |+|FFl-MF|=2c-2a,由于a=3,b=4,c=+=5,所以|MF|+FF|-|MF -2c-2a-10-6-4.故选B. 6.C 因为a+b+c-0,所以a+c--b,所以(a+c)}=(-b),即a^{}+2a·c+c^{}-b,所以4^{}+2a·c+5^} 5,解得a·c--8.又a+b+c=0,所以b+c=-a,所以(b+c)②-(-a)②},即b}+2b·c十c-a{,所以5{} +2b·c+5{}-4,解得b·c=-17,所以(a-b)·c=a·c-b·c=-8-(-17)-9,所以向量a-b在向量 7.A 如图,以点A为原点,以AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则 由题意,得A(0,0),E(4,0),F(8,4),G(4,8),所以AG:y-2x,因为圆H与直线 {#21 8 解得 点F关于直线AG的对称点为F'(a,b),则 2 接FH,线段FH分别与AG,圆H交于点M,N,当机器人走过的路线是线段 5 是(-②,0),因为|PA|+|PF |=4,所以|PA|+(2a-|PF |)=4,|PA|-PF |=4-2a,又 11PAl-1PFi1|<AF-1,所以14-2al<1,解得3<a5 ①.又因为点A(-2,1)在圆C内 0.m-2>0且4-m≠n-2时,2<m<3或3<m<4,曲线E是圆;当(4-m)(m-2)<0时,m<2或 n>4,曲线E是双曲线.故选ABC. -B,又A.Be(o.吾),所以sinA>sin(-B)=cos B.同理sin B>cos A,所以sinA+sin B>cos A+ 【高二年级期中考试试卷·数学参考答案 第1页(共4页)】 25-T-237B cosB,故B正确;sinA>sinBa>bA>B.故C正确:由acosA-bcos B=sin(A+B+C),得acos A= $os B.所以sinAcosA-sinBcosB,所以sin2A=sin2B,又A.BE(0.x),所以2A-2B或2A+2B=,所 以A-B或A+B-,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故D错误.故选ABC. 11.ABD因为A(2,2)在抛物线上,所以2②}-2X2.解得=1.所以F(,0),故A正确;显然直线BC的斜 2-2 2 ②十(y+2) 士4-0,所以直线BC的方程为3x十6v+4一0,故D正确,故选ABD 12.2x-y-0或2x+y-4-0 设/在x轴上的截距为a,则/在y轴上的截距为2a,若a-0,则/过原点 所以/的方程为+-1,即2x+y-4-0.综上所述,直线/的方程为2x-y-0,或2x+y-4-0. 13.85 甲少记20分,乙多记20分,则总分不变,由此知平均分不发生变化,设其余38名学生的成绩分别为 .2...,:s,则[(x-70)2②+(txx-70)2十.十(rx-70)②十(50-70)十(80-70)"]=-95,所以更正后 如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则E(1,1,0),F(1,2.1),设 P(,0,2),Q(2,y,2),则EP-(x-1,-1,2),F-(1,y-2,1),因为EP1 C FQ,所以EP·F-x-1-y+2+2-0,即x-y+3-0,所以y-x+3,又 P-(2-x.+3.0),则lPl |=(2-x)+(r+3)-v2r+2x+13,当 {r #时,[^(取得最小值,此时y-,即P(-0,2),~(2-,2),所以 i-(0.1,1),E-(-,-1,2),-(1.,2).设平面EFQ的一个法 十-0. 向量为m一(xo.y,o),则 1.一0 2.=-1.所以n= (.1,-1),则点P到平面EFQ的距离为-m n 一{{ .-3/2. 1(-1)2 又BC=(2-5)*+(-2-1){-3v②. ...................................分 (2)设. .ym.接..方.为.....D..y........................7.分. 【高二年级期中考试试卷·数学参考答案 第2页(共4页)】 25-T-237B ((-1)*+1-D+E+F-0. -D+E+F--2. $+(-2)+2D-2E+F=0.即 2D-2E+F--8, 将A,B.C的坐标代人,得 ..................分 5*+12+5D+E+F-0. 5D+E+F--26. (D--4. 解得...-....... F--4. 故所求圆的方程为+-4x-2y-4-0................... .................. 16.解:以A为原点,AB,AD.AP所在直线分别为x轴,v轴,:轴,建立如 图所示的空间直角坐标系. (1)证法-:不妨取AB-PA=6,则E(3.0,0),M(0,1,5),N(0.0,4). MN一.........................1分 取 PC的.点F,.,则.-(.3.),E...0.)..........2分 因为E.F...N....所以 .F./.N,........................5分... 因为MNC平面PCE,EFC平面PCE 所以MN/平面PCE. ....................................分 证法二:不妨取AB-PA-6.则E(3.0,0),M(0.1.5).N(0.0.4). P(0.0.6).C(6,6,0). MN=(.-...)....6..............1分.. 设平面PCE的法向量为n一(x,y,z). 由{.n0. 1-3r十6-0 '取y-1,则m-(-2,1,-1), .............................分 13x+6y-0. 因为MN...1.....................5分 又MNC平面PCE,所以MN/平面PCE. (2)易知D.....,则......6.6.节-....6..5.................8分 设平面CMN的法向量为n-(x,y,z。). , CM.n=0. -6x.-5+5-0. 10分 设真线PD与平面CMN所成角为0. .386 # |PDn ............. 6v2X 43 (9 ............................................................ 15分 43 _ (2)设P(x,y),则y=一6(一1), 因为点P在第一象限,所以x>2,且F(-v10,0o),F(v10,0),....8分 所以PF.P-(-10-x.-y)·(10-x.-y)=-10+= 16(-6,十). 所以PE.P.值范.是..一.-................. 15分 18.解:(1)记“乙至少有1个回答正确”为事件M. 所以P$(M)-1-P$(M)-1-(1-)x(1-)x(1-)x(1-)-15$ 16 ......................................................................5分 (2)记“甲答对第i个问题”为事件A(i一1,2,3),“乙答对第i个问题”为事件B(i-1,2,3),则甲回答正 确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件A. AAB B. B +A.AA.B B B +A. AA B B B +AAAB B B +A AAB B B+AAAB B:B. 【高二年级期中考试试卷·数学参考答案 第3页(共4页)】 25-T-237B 所以P(AAAB B B +AAA B B B +AAA B B B +AAA B B B +A AA B BB ###A#AB#B.B)-×$×(-)×(1-+3×#3×(1-)× 1- )#x+×$×(-)#××(-)+(1-3)#x$×(1-)x×(-)x $- )+2x×(1-2)x2x×(1-1)x(1-1)x( -)+$×(1-2)x×(1-)x (1-)×(1-)# 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是1 ........................... (3)记“甲答对第i个问题”为事件A(i-1.2,3,4.5),则甲恰好回答5次被退出比赛为事件AAA.A. A+ AAAA.A+A. AA:A. A. 所以P(AAAA A+AAAA A+A AAA A)-P(AAAA A)+P(AAAA A)+ ##1#)##(##)(#)#1# 因为圆E的左焦点与抛物线y{--12x的焦点(-3,0)重合,所以 a{--c-3,解得6-3, (2)证明:设Q(一3,t),由题意知直线/的斜率必然存在,故设直线/:y-k(x十6),M(xi,y).N(x,y) (y-(2十6). _2-1. 消去y,得(1+2*)x+24x+72*-18-0. △-(24)-4(1+2^})(72-18)-72(1-2^)>0,即< 24^2} 所以r十一一 127218 2:十3 r。十3 (x十3)(x十3) 242} 2k.xx+(9k-)(x+xo)+6(6-)2h 1十22 73( (。 xr+3(xi+xo)十9 10分 又^_-0 一3一(-) 与圆E相切,不符合题意,所以QA,QB,QC,QD的斜率都存在. 由(2),得koa+ko:=2kor,kon+kop=2kor,又ho=kon-2,所以ko=koo,所以Q是AB和CD的交点. .............................. 22十y十6-0. -3. 【高二年级期中考试试卷·数学参考答案 第4页(共4页)】 25-T-237B太和中学高二年级期中考试试卷 数学 01奶5 7. %有.部7 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范国：人教A版必修第二册，选择性必修第一册。 8. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线1：2x一3y十1=0和直线m:3x+2y一1=0的位置关系为 A垂直 , B平行 C.重合 D.相交但不垂直 2已知+兰=1，则：的虚那为 的为8.43 都 A.1 D.-1 9. 3.若点P(1,1)在圆C:x2+y x一2y一=0的外部，则实数的取值范围是 10 A.(-∞，-1) c(1,) D(-1,-) 沉21学进国 a桶减区 4.已知口，b为两条不同的直线，a,8为两个不同的平面，则收足0地以 A若aCa,bCp,且a∥，则a/e京杀 ,行通(，型2、 B若a⊥a,aLB,则a∥e 1 C.若a⊥pa∩B=a,b⊥a则b上a D.若a,b为异面直线，a⊥a,a∥B,则b不垂直于B 5已知点M为双曲线C号-若-1左支上的一点，A,R分别为C的左，右焦点，则十 FF-MF2= A.2 B.4 C.6 D.8 【高二年级期中考试试卷·数学第1页（共4页）】 25-T-237B 6.已知向量a,b,c满足|a=4,|bl=|c=5,且a十b十c=0,则向量a-b在向量c上的投影 向量为，清。 A9。 25c ,说… B.9 9 分c.1t行kC.250 9 D.c 7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长 G 为8米)如图所示，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，在场地ABCD中 设置了一个半径为号米的圆H,圆H与直线AB相切于点E.比赛中，机 器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后再到达圆H,则机器人走过 的最短路程是範所旋科就联烹滋言个下共，藏小山魂，除，四 A7年-米 5 B.6y-9米 c米 D. 661 &已知椭图C导+节-1(。>b>0)的左右焦点分别为，，4-，D为椭圆C内-点 对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点(3,1)，点Q(a,b)在E上.若椭 圆C上存在一点P,使得|PA创十|PF2=4,则C的离心率的取值范围是 A(,) [2,2] c停，] [) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 、2 9已知关于x,y的方程十产2户1表示的曲线是E,则铺线E可以是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 10.在△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,汤，c,则前)：9克(8 A若Q=2,6=3,A=石，则解此三角形有两解 B.若△ABC为锐角三角形，则sinA十sinB>cosA十cosB C.sinA>sinB的充要条件为A>B D.若acos A一bcos B=sin(A十B十C),则△ABC为等腰直角三角形 11.已知抛物线y2=2px的焦点为F,且A(2,2),B,C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是 A点F的坐标为（号，0》 ,》5 :膏粥帅) B若直线BC过点F,0为坐标原点，则O成，D心=一是高)整9 C若BC=4,则线段BC的中点到y轴距离的最小值为号 D.若直线AB,AC是圆(x一2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为3x十6y十4=0 【高工年级期中考试试卷·数学第2页（共4页）】 25-T-237B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1过点A(1,2),且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，则直线1的方程为 13.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2 名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差 是 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD,中，点E,F分别是底面ABCD、侧面BCCB,的中 心，点P,Q分别是棱AD,A1B1所在直线上的动点，且EP⊥FQ,当PQ取得最小值时，点 a一P到平面EFQ的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 1 已知A(=1,1),B(2,-2),C(5,1). (1)求直线BC的方程及△ABC的面积； (2)求△ABC的外接圆的方程 ，,”,生1每行喝. 粉，克 4式气滋731 受台接会器建搭，中黄数前陆、蓉。。，醉，源上女效发， 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD,且AB=PA,E为AB 的中点，PD=6PM,PA=3P戒. (1)证明：MN∥平面PCE; (2)求直线PD与平面CMN所成角的正弦值.：4。，1 ， 17.(体小题满分15分)州点受形这发平，B 当受 已知双曲线C:三-芳=1过点（一4,32）且6=6，A,B分别是C的左、右焦点 (1)求C的标准方程； (2)设点P是C上第一象限内的点，求P·PF的取值范围.；，心S +,水的51 ↓“日：4品，究44 H-T-6 【高二年级期中考试试卷·数学第3页（共4页）】 25-T-237B 18.(本小题满分17分)方兰 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数 学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛， 甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是子和号·假设两人是否回答出问题，相互之间没有 影响：每次回答是否正确，也没有影响。 (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率： (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个 的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率， :京网证站的的女花多 中同年，意写然天漆普实可意营洛：藏营的8 数·“·作，数5A火，阴心分5 点夹一次台需手网图常整4公斋炎，、无霞小接，限水书，注公，存花卷一 共装两 19.(本小题满分17分) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论 稍中正式幅述的对于椭圆后+芳=1a>60),极点P为)不是坐标原点对应的板 线为：警+学=1.已知椭圆E:芳+芳-1(a>b>0)的长轴长为6区，左焦点与抛物线 y2=一12x的焦点重合，对于椭圆E,极点P(一6,0)对应的极线为lP,过点P的直线L与椭 圆E交于M,N两点，在极线lp上任取一点Q,设直线MQ,NQ,PQ的斜率分别为1，k2, 3(k1,2,k3均存在). (1)求极线lp的方程； (2)求证：k1十k2=2ka: (3)已知过点Q且斜率为2的直线与椭圆E交于A,B两点，直线PA,PB与椭圆E的另一 个交点分别为C,D,证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标 ,。 公1 1多上 》d州乐 【高二年级期中考试试卷·数学第4页（共4页）】 25-T-237B