精品解析：江苏省泰州市泰州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省泰州中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：余静 审题人：杨华 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果. 【详解】直线的斜率不存在，直线的倾斜角为. 故选：D. 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 3. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案. 【详解】因为抛物线方程为，故焦准距， 即焦点到准线的距离是， 故选：A. 4. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C 5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ） A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为 C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而求得椭圆的离心率和焦距. 【详解】， 如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心. 因为，所以， 设椭圆的长轴长为，焦距为，则. 因为， 由正弦定理得， 解得，所以， 所以. 故选：BC 7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可. 【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线， A选项等价于或，表示折线的全部和双曲线， 故错误； B选项，等价于或，又表示折线的全部，故错误； C选项，等价于或， ∴表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分， 表示双曲线-，符合题中的图象，故C正确. D选项，等价于或， 表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分， 和表示双曲线在x轴下方的部分，故错误. 故选C. 【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题． 8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 又因为，可得， 由直线与轴的交点的坐标为可得， 在中，由余弦定理可得 ， 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，所以， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，所以，即. 故选：A. . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将直线化简整理为，令，解方程组即可求出所过定点； 对于B，将代入直线中，分别求出直线与的斜率，通过两条直线垂直的判定条件判断选项正误即可； 对于C，将代入直线中，分别求出直线与的斜率，通过两条直线平行的判定条件判断选项正误即可； 对于D，通过，求出参数，然后根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】对于A，直线化为， 令，解得：，所以直线过定点，故A选项正确； 设直线的斜率为，设直线的斜率为， 对于B，当时，，， ，， 又与均存在且，与不垂直，故B选项错误； 对于C，当时，，， ，， 又，且与不重合，与平行，故C选项正确； 对于D，，，解得：， 得，， 故两条直线之间的距离为，故D选项错误. 故选：AC 10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 C. 若直线过点，则的最小值为1 D. 若，则直线恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形的周长，可判定判断B不正确；设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得的值，可判定D正确． 【详解】对于选项A中，设，由焦半径公式得，解得，所以， 所以，所以A正确； 对于选项B中，由题意知，根据抛物线的定义可知， 设与轴的交点为，易知，，故， 所以四边形的周长为，所以B错误； 对于选项C中，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1， 所以C正确； 对于选项D，设直线，，， 联立直线与抛物线方程得，则，所以， 由可得，即，解得， 故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确． 故选ACD． 【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展： 若是一条过抛物线焦点的弦，当所在直线的倾斜角为，设，，可得，则，弦长；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于，且通径是过焦点的最短的弦． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A. 的最小值为8 B. 为定值 C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为； D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 【答案】AB 【解析】 【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误. 【详解】由题意，双曲线，可得，则， 所以焦点，且， 设，则，且，即， 双曲线的两条渐近线的方程为， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中， （定值），所以B正确； 对于C中，不妨设，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 若直线与双曲线相切，则， 整理得， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 则点的纵坐标之积为 所以C不正确； 对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为， 若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误. 故选：AB. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______. 【答案】和； 【解析】 【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解. 【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 将代入可得，所以直线方程为，即， 故答案为：和； 13. 已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，结合平方关系可求的最小值. 【详解】设， 由已知，由对称性可得, 所以， 则，， 且， 因为， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以， 所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果. 【详解】当时，设， 则有，解得，又，所以， 又，所以，两边同除，得到， 解得或（舍）， 因为，有， 设，则，，，， 所以， 又，所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用，得到，设，，求出，化简并结合双曲线定义，即可求解. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． （1）求点B，C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）7 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可知点坐标满足BH的方程，再表示出的中点，代入AB边上的中线方程，解方程组可求出点的坐标，求出的斜率，可求出直线的方程，再与联立，可得点的坐标， （2）利用两点间的距离公式求出的长，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 设点，因为在直线上，所以， ① 又，的中点为，且点在的中线上， 所以， ② 联立①②，得，即点． 由题意，得，所以， 所以所在直线的方程为，即， ③ 因为点在AB边上的中线上， 所以点的坐标满足直线方程， ④ 联立③④，得，即． 【小问2详解】 由（1）得， 到直线的距离为， 所以， 故的面积为7． 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求的最小值； （2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 【答案】（1）11 （2）在，理由如下： 由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，， 以为直径的圆方程为：， 将代入得：，所以点在以为直径的圆上； 当直线斜率存在时：由（1）知：，， ， 所以得：，， 所以得：点在以为直径的圆上. 综上所述：点在以为直径的圆上. 【解析】 【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解. （2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解． 【小问1详解】 从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：， 直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0， 设直线方程为， 当时，直线率不存在，即直线方程为：， 此时：，， 所以：； 当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：， 将直线与抛物线联立得：，化简得：， ， 设：，，由根与系数关系得：， ， 所以：当直线斜率存在时，的最小值为：. 综上所述：的最小值为：. 【小问2详解】 略 17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且． （1）求椭圆的方程及直线的斜率； （2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程． 【答案】（1），； （2） 当时，由（1）知，点的坐标满足， 而，因此的重心坐标为，所以原点是的重心； 显然线段的中点坐标为，此点在椭圆内，即直线与椭圆必相交， 由（1）知直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点的坐标，利用点差法求解作答； （2）证明的重心坐标为，确定中点坐标，点差法求出的斜率，即可求解的方程． 【小问1详解】 设椭圆的方程为，则，且， 解得，所以椭圆的方程为； 设，而，则， 由，得，即， 又由，得， 则直线的斜率. 【小问2详解】 略 18. 已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上. 【答案】（1）或； （2）证明：直线的方程为，直线的方程为， 直线与的交点为，故，即， 进而得到，又， 故，解得 故点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程； （2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证. 【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线 联立方程组，，可得， 则， （1），，由，可得， 即①，②， 把①式代入②式，可得，解得，， 即直线的方程为或． （2）略 【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解. 19. 已知曲线由和组成，点，点，点在上. （1）求的取值范围（当与重合时，）； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，分点是否在轴的右侧两种情况讨论即可得解； （2）当两点在半椭圆上时（不含轴），设，求出，同理求出，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含轴）和一点在轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案. 【小问1详解】 注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点， 当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得； 当点不在轴的右侧时，设， 则， 因为，所以， 所以， 综上所述，； 【小问2详解】 记的面积为， 当两点在半椭圆上时（不含轴），设， 联立，则有， 故， 同理可得， 故， 令，则， 则， 由，得，所以， 所以； 当两点都在半圆上时，， 则； 当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴）， 由对称性，可设点在半椭圆上，则， 故， 由，可得， 所以，所以； 当一点在轴上一点在半椭圆上时， 由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点， 则， ， 综上所述，面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：余静 审题人：杨华 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ） A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为 C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为 7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是． A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 10. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 C. 若直线过点，则的最小值为1 D. 若，则直线恒过定点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A. 的最小值为8 B. 为定值 C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为； D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______. 13. 已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________. 14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． （1）求点B，C的坐标； （2）求的面积． 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求的最小值； （2）判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由. 17. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且． （1）求椭圆的方程及直线的斜率； （2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程． 18. 已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上. 19. 已知曲线由和组成，点，点，点在上. （1）求的取值范围（当与重合时，）； （2）若，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $