精品解析：四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

成都外国语学校高2022级半期考试 数学试卷 命题人：杨欢 审题人：全鑫 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分； 2.本堂考试时间120分钟，满分150分； 3.答题前考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂； 4.考试结束后将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题部分，共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数单调性可得即可得，再借助并集定义即可得. 【详解】由，可得，即， 又，则. 故选：C. 2. 若函数是周期为4的奇函数，且，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据周期可知，再根据奇函数性质即可求解. 【详解】因为函数是周期为4的奇函数， 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题. 3. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 4. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用切化弦的思想求解即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 D. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的伸缩和平移变化对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为， 将函数向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，故A错误； 将函数向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得，故B正确； 将函数所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，可得，故C错误； 将函数所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，可得，故D错误； 故选：B. 7. 已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果. 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B. 8. 设，且，则下列结论正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式判断①②,利用导数判断函数和的单调性后，利用单调性判断③④． 【详解】∵，且，∴，当且仅当时取等号， 同时，，①错； ，当且仅当时等号成立，②正确； 设，则， 当时，，∴在上递减， 所以时，， 由，且，得，，∴，③正确； 设，则，∴在单调递增， ∴时，，即，由题意， 则，∴，④正确． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 若向量，满足且，同向，则 C. 若，，三点满足，则，，三点共线 D. 将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角的概念判断A，利用向量的定义以及共线定理判断B,C，利用任意角的定义判断D. 【详解】解：对A，因为钝角三角形的内角是锐角或钝角， 且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，故A正确； 对B，因为两个向量不能比较大小，故B错误； 对C，由可得：， 根据向量的共线定理可知，三点不共线，故C错误； 对D，将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了， 所以分针转过的角的弧度数为，故D错误. 故选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案. 【详解】，，由于， 所以，所以A选项正确，B选项错误. ， 当时，得，所以关于对称，C选项正确， ， 当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质可推出函数的周期，利用替换的思想，结合偶函数的定义可判断A，得出根据中心对称的性质判断B，由为奇函数可得，利用周期，再由函数单调性判断C，根据函数性质转化为判断的符号，利用单调性即可判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以，所以，即， 因为为偶函数，所以， 所以，故，即周期为， 由，可得，故函数是偶函数，故A正确； 由可得，因为是偶函数， 所以，所以函数关于成中心对称，故B正确； 由周期可得，而由为奇函数知，即， 又时，单调递增，所以，故C错误； 因为， 且时，单调递增，所以，即， 故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由三角函数的定义可直接求得. 【详解】解：∵角的终边经过点， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 13. 设函数，则满足的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【详解】解：画出函数的图象如图： 满足， 可得：，， 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力，属于基础题． 14. 若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】解： ， ， 即， 即， 即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}为等差数列,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1>1,公比为2,且b2S3=54,b3+S2=16. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 【答案】(Ⅰ) an=2n﹣1,; (Ⅱ)Tn.n2+3(2n﹣1). 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用等差数列的前项和公式和等比数列的通项公式列式解方程组解得和，进一步可得和； (Ⅱ)利用等差数列与等比数列的前项和公式分组求和可得. 【详解】(Ⅰ)∵数列{an}为等差数列,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列, b1>1,公比为2,且b2S3=54,b3+S2=16. ∴, 解得b1=3,d=2, ∴an=2n﹣1,; (Ⅱ)∵cn=an+bn=(2n﹣1)+3•2n﹣1. ∴Tn=c1+c2+…+cn=[1+3+…+(2n﹣1)]+3(1+2+22+…+2n﹣1) n2+3(2n﹣1). 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了等差等比数列的前项和公式，属于中档题. 16. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 ，有关 （2）期望6，方差【解析】 【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）根据题意，，利用二项分布的均值方差公式求解. 【小问1详解】 列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的频率为，则， 故其期望，方差. 17. 已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为， （1）求角； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角;(2)根据正弦定理以及三角形面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， ，且 且 故 所以，. 【小问2详解】 由正弦定理可得，，且 则， 由(1)知，则，且是锐角三角形， 即，， 所以，即， 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出抛物线标准方程，再结合导数的几何意义求出在P点的切线斜率，从而得出切线方程. （2）将直线与抛物线方程联立，由题意因为直线与倾斜角互补，则直线与斜率互为相反数，即，结合韦达定理可求出k的值. （3）先分别表示出线段AB的长度以及顶点P到线段AB的距离，从而得出的面积表达式，再求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. 【小问2详解】 如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 【点睛】思路点睛：本题首先考查了抛物线切线方程的问题，这类题型需要将抛物线方程看作函数，通过函数导数的几何意义对方程求导，得出切线斜率，进而求出切线方程；在第（2）小问中直线PA与PB倾斜角互补的条件正确转化为斜率和为0的条件是解题的关键；第（3）小问中使用了底边和高表示出三角形面积，以及最后求面积最大值使用到了基本不等式，要明确基本不等式等号的成立条件. 19. 设函数. （1）当时，判断在上的单调性； （2）当时，证明：； （3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明：令， 则， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 所以，所以在上单调递增， 所以，所以不等式成立. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求在上的单调性； （2）令，利用导数求的单调性，证明在上恒成立； （3）令，函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，利用导数通过讨论判断的单调性和零点的存在，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知：， 则， 令且， 所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点， 又因为且， 令， 则且 ①当时，， （i）当时，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又因为，， 由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时，， （ii）当时，， 所以， 所以由（i）（ii）知：在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 又因为， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 又因为，由（2）知：， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 当时，；当时，， 即为在上唯一变号零点，所以符合题意； ②当时，由时，得： ， 令且， 则且， 令， 又因为，则在上单调递增， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，， 即在上无零点，所以不符合题意. 综上：，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校高2022级半期考试 数学试卷 命题人：杨欢 审题人：全鑫 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分； 2.本堂考试时间120分钟，满分150分； 3.答题前考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂； 4.考试结束后将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题部分，共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是周期为4的奇函数，且，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 3. 已知，，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 若向量，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 D. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 7. 已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，且，则下列结论正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 若向量，满足且，同向，则 C. 若，，三点满足，则，，三点共线 D. 将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则______. 13. 设函数，则满足的x的取值范围是______． 14. 若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}为等差数列,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1>1,公比为2,且b2S3=54,b3+S2=16. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 16. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为， （1）求角； （2）若，求的取值范围． 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 19. 设函数. （1）当时，判断在上的单调性； （2）当时，证明：； （3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $