精品解析：江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题

徐州一中2024—2025学年度第一学期高二年级期中检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 1.请在答题卡纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等. 2.请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为， 所以. 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程. 【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题. 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 4. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得是首项为，公差为的等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出，进而可求出 【详解】解：因为， 所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：A. 【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题. 5. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】由题意可知在上的投影向量为， 故选：B. 6. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和公式计算. 【详解】表示首项为，公比为的等比数列的前11项和，所以． 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为 B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 8. 椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，可得四边形为矩形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理可得，再分析的取值范围， 进而求得，再求离心率的范围即可 【详解】设，由，知， 因为，在椭圆上，， 所以，四边形为矩形，； 由，可得， 由椭圆定义可得①； 平方相减可得②； 由①②得； 令，令，所以，， 即，所以，， 所以，，所以，， 解得 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得①； 平方相减可得②； 由①②得， 然后利用换元法得出，进而求解 属于中档题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为 B. 已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 圆与圆的公切线条数为2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接由斜率验算倾斜角即可；对于B，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于C，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断. 【详解】对于A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，如图所示： 当时，曲线，即， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为， 在曲线中，分别用替换，方程依然成立， 这表明了曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线的周长为，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得或，故C错误； 对于D，圆即的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确. 故选：BD. 10. 设等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 和均为的最小值 C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由得到，结合，得到，求出，A正确； 由得到，从而求出，得到，，求出为的最小值，B错误； ，解方程，求出，C正确； 求出，，列出方程，求出，D正确. 【详解】设等差数列的公差为， 因为时，， 即，故， 因为， 所以， 即， 因为恒成立，所以， 故等差数列为递增数列，A正确； 则， 即， 故， 由A选项知，故，， 所以，故为的最小值，B错误； ， 因为，故当时，， 所以存在正整数，使得，C正确； ，， 令，因为， 解得： 存在正整数，使得，D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D. 【详解】由题意可得， 设直线方程为，， 则，，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得， 解得，所以， 所以，故C错误， 对于D， ， 将代入可得， 所以， 等号成立当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可. 【详解】由题意可得成等比数列， 由，，得， 得，所以， 则，所以. 故答案为：. 13. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立，则实数的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据累加法求出数列，再代入已知条件后可得，构造函数，再利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】， ， 又， 当时， ，满足上式， 代入，得， 构造函数，求导， 当时，; 当时，; 当时，. 于是函数在时取得最大值， 又∵，故最大值为， ，故实数入的最小值为. 【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的通项公式和前n项和，不等式恒成立求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意导数的应用. 四、解答题：本题共5小题共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解； （2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可. 【小问1详解】 设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设圆心到直线l的距离为d，则，则． 当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以，解得， 此时，直线l的方程为，即． 综上所述，直线l的方程为或． 16. 在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9. （1）求，的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为数列的前三项和为，所以， 或舍去，所以， 设等差数列的公差为，因为前三项和为9， 所以有， 所以，因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以， ， ，得， ，所以. 17. 抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）；准线方程为； （2）32 【解析】 【分析】（1）解法一：联立与抛物线方程，得到两根之和，根据中点的纵坐标得到方程，求出，得到准线方程； 解法二：点差法进行求解，结合直线斜率求出，得到准线方程； （2）解法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式计算出，表达出，利用基本不等式求出最值； 解法二：设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式计算出，表达出，由基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 解法一：设抛物线与直线交于，． 整理得， 所以， 因为 所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线与直线交于，． 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则， 作差得， 所以， 因为，所以 则抛物线方程为，准线方程为 【小问2详解】 解法一：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故 所以 因为，直线的方程为， 同理可得 所以 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故． 所以 因为， 同理可得 所以 ， 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 18. 已知椭圆：的离心率为，是上一点. （1）求的方程. （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上. 【答案】（1）； （2）①因为过点且斜率不为0，所以可设的方程为， 代入椭圆方程得， 方程的判别式， 设，，则，. 两式相除得，． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而； ②由①知，设，则， 所以直线的方程为：，直线的方程为， 联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 【解析】 【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆的方程； (2)①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求即可证明； ②求出直线与直线方程，联立求点的坐标，由此证明点在定直线上. 【小问1详解】 由题意，椭圆的离心率为，是椭圆上一点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】过x轴上定点斜率不为0的动直线方程可设为；过y轴上定点(0，y0)斜率存在的动直线方程可设为. 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在．理由如下： 假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）不是，理由如下： 设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案； （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件，分析数列满足的关系式再进行列式分析，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2024—2025学年度第一学期高二年级期中检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 1.请在答题卡纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等. 2.请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 计算（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为 B. 已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 圆与圆的公切线条数为2 10. 设等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 和均为的最小值 C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得 11. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______. 13. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 14. 已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立，则实数的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 16. 在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9. （1）求，的通项公式； （2）求的前n项和. 17. 抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 18. 已知椭圆：的离心率为，是上一点. （1）求的方程. （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上. 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $