精品解析：广东省广州三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024-2025学年上学期期中三校联考 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 两个函数，表示的是同一函数 B. 函数的单调递减区间是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 命题“，”的否定是“，” 3. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ） A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg 4. 已知，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若且，则 5. 关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是（ ）个. ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是9 D. 的最小值是 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 14. 定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数，双曲余弦函数： （1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ①    ② （2）请证明双曲正弦函数sinh x在上是增函数； （3）求函数在R上的值域． 19. 已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． （1）试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； （2）若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； （3）若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期中三校联考 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】， 若要， 则需， 所以解得 所以， 所以. 故选：. 2. 给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 两个函数，表示的是同一函数 B. 函数的单调递减区间是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】先看定义域，再看解析式判断选项A；根据减函数定义判断选项B；根据抽象函数定义域，判断选项C；根据全称量词命题的否定形式判断选项D. 【详解】，，定义域不同,两函数不是同一函数，故A错误； 函数的单调递减区间是 和，故B错误； 因为函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为，故C正确； 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 故选：C 3. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ） A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数模型代入即可得出，最后再根据脉搏率得出体重. 【详解】根据题意，当时，，则， 当时，则，故. 故选：D. 4. 已知，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析． 【详解】．若，当时， ，所以不成立； ．若，当时，则，所以不成立； ．若，，由，所以成立 ．若且，当时，则，所以，则不成立． 故选：． 5. 关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是（ ）个. ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本题结果. 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以且和是的解，所以说法①正确； 由韦达定理得，，解得， 所以即为，故，所以说法②错误； ，所以说法③正确； 不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为，所以说法④正确. 故选：C. 6. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 7. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：D 8. 若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据定义求出函数的解析式，并作出函数图象，结合图象分析可得. 【详解】由题知，对，都有 设，则 所以 又 所以 则 因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根， 记，则方程必有两个不同的实数根为，且和都有两个不同实数根， 由图可知，当时，有，且，此时和都有两个不同实数根，满足题意. 所以，实数的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是9 D. 的最小值是 【答案】AB 【解析】 【分析】由基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为， ，，当且仅当时，等号成立，A正确； ，当且仅当，即时等号成立，B正确． ，当且仅当，即时等号成立，C错误； 由得，所以，D错； 故选：AB． 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂及根式的运算法则计算即可. 【详解】解： . 故答案为： 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为_______． 【答案】7 【解析】 【详解】f(x)=[x]⋅{x}=[x]⋅(x−[x])=[x]x−[x]2,g(x)=x−1， f(x)<g(x)⇒[x]x−[x]2<x−1即([x]−1)x<[x]2−1， 当x∈[0,1)时,[x]=0，上式可化为x>1， ∴x∈∅； 当x∈[1,2)时,[x]=1，上式可化为0>0， ∴x∈∅； 当x∈[2,3)时,[x]=2,[x]−1>0,上式可化为x<[x]+1=3， ∴当x∈[0,3)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=3−2=1； 同理可得,当x∈[3,4)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=4−2=2； ∵不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5， ∴k−2=5， ∴k=7. 故答案为7. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数单调性解不等式化简集合A，解二次不等式可化简集合B，后由交集定义可得答案； （2）由题可得，A是B的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 ，则. 当时，，则. 故； 【小问2详解】 . 由题，则. 又“”是“”成立的充分不必要条件， 则A是B的真子集，则，又注意到满足条件. 则实数的取值范围是 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． 【小问2详解】 ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 18. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数，双曲余弦函数： （1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分） ①    ② （2）请证明双曲正弦函数sinh x在上是增函数； （3）求函数在R上的值域． 【答案】（1）证明：若选择①： 由题意，，则 若选择②： . （2）证明：，且 ∵，∴，， ∴，即 所以在上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲正弦、余弦函数的定义，利用指数的运算化简，即可得证； （2）运用单调函数的定义结合指数函数的单调性进行证明即可； （3）利用整体思想，通过换元的方法转化为二次函数，分析二次函数的单调情况求得值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （3）法一：由（1）知，， 则， 令，则，当且仅当时取等， 令， 又函数在上单调递增，故g(t)g（1）=2， 故的值域为，即的值域为； 法二：，+ ， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，故，故的值域为， 即的值域为． 19. 已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． （1）试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； （2）若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； （3）若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 【答案】（1）函数不具有“性质”，函数具有“性质” （2） 因为函数具有“性质”，对任意的，， 所以，， 又因为，所以， ， 所以，，由不等式的可加性可得， 故对任意的，. （3） 命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下： 对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”， 函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调； 对于命题②，对任意的，对任意的，， 所以，， 对任意的、且，取， 必存在且，满足， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，，即， 所以，， 故，即， 故函数在上是严格减函数. 所以，命题②为真命题. 【解析】 【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论； （2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立； （3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立. 【小问1详解】 解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下： 设，， 对任意的， ， 所以，，所以，函数不具有“性质”， 对任意的，， 所以，，所以，函数具有“性质”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $