精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期第二次质量检测（11月）数学试题

咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前.考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时.选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 2. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 3. 已知点与关于直线对称，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解． 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 4. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 5. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切，且时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】由得圆心，半径， 直线上存在使恒成立，则以为直径的圆包含圆，当长度最小时，两圆内切，设中点为，则此时，所以. 故选：A. 6. 设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线交轴于点，推导出，可得出关于、的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线交轴于点， 是底角为的等腰三角形，，， 在中，，，， 为直线上一点，，即，． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，，结合，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率. 【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点， 设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，， 因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而 所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，解得，所以答案为A. 【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有： （1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解. （2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：整理得，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得；对D：设，写出以为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点. 【详解】对于，整理得， 所以解得所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为， 则圆心到直线的距离，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误； 对于C，曲线整理得， 当时，曲线是圆心为，半径为的圆， 圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确； 对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为， 即 圆两圆的公共弦的方程为， 整理得解得 直线经过点.故D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解. 【详解】由题意可得，所以， 由点在椭圆内部可得：， 可得，即 ，所以， 对A，，所以，故A错误； 对B，当时，，, ，故B正确； 对C，由A知，当时，当在短轴端点时， 最大，此时，此时， 由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于， 所以不存在点使得，即C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了椭圆的相关性质，考查了椭圆的离心率和距离最值问题，同时考查了椭圆的定义和基本不等式的应用，需要一定的计算能力，属于较难题. 本题的关键点有： （1）椭圆定义的应用，椭圆定义在解决距离问题时往往和两点之间线段最短结合来求最值； （2）离心率和椭圆形状的关系，通常是解焦点三角形的关键； （3）基本不等式求最值，也是解析几何求最值得重要方法. 11. 已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 若点，则直线的方程为 B. 面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 以线段为直径的圆可能不经过点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到； 对B：当最小时，的面积会有最小值； 对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到； 对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到. 【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即， 由，两式相减得，，故A错误； B选项，到直线：的距离为， 而，所以的最小值为， 所以面积的最小值为，故B正确； C选项，设，， 线段的中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：， 由，两式相减得， 即， 由，解得， 所以直线过定点，故C正确； D选项，由A选项，由， 解得或, 即，，， 即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，则， 因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交， 若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设， 则， 因为，则，解得， 当，此时点即为点，不合题意； 当，此时点，； 若直线AB的斜率不为0，设， 则， 联立方程，消去x得， 则， 因为，则， 可得， 整理得，则，， 即， 可得， 因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】（1），圆心坐标，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【小问1详解】 由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由得圆心， ∵圆的半径为1， ∴圆的方程为：， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即． ∴， ∴，∴或． ∴所求圆的切线方程为或． （2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为， 则圆的方程为． 又∵， ∴设为，则，整理得，设为圆． 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， ∴， 由，得， 由，得． 综上所述，的取值范围为． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 18. 已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标． 【答案】（1） （2）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为， 联立，得 ， 由题意，， 设， 则， 因为，所以是的中点． 即，得， ① 又，l的斜率为， 直线的方程为 ② 把①代入②可得： 所以直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线为轴，也过. 综上所述直线恒过点. 【解析】 【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程； （2）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为， 所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点. 【小问1详解】 由于是椭圆的上顶点，由题意得， 又椭圆离心率为，即， 解得，， 又， 所以椭圆的标准方程． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当时，有定值． 【解析】 【分析】（1）根据长轴长为，离心率为，可得，得到标准方程． （2）根据斜率存在，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，，表达出直线TM和直线TN，进而求出为定值；斜率不存在，不妨设，，求出为定值. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，． 所以，．所以． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率存在，设直线的方程为，． 联立方程组， 消去，化简得． 则，即, 设，， 所以，． 所以直线TM的方程为，直线的方程为． 所以，． 所以，， 所以 ． 所以当时，为定值， 即（负值舍）时，有定值． 当时，若直线l斜率不存在， 不妨设，， 所以，． 所以． 综上，当时，有定值． 【点睛】方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算量偏大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前.考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时.选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知点与关于直线对称，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 10. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 11. 已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 若点，则直线的方程为 B. 面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 以线段为直径的圆可能不经过点 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 13. 已知实数满足，则的最大值为__________. 14. 椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标． 19. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $