精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期综合素质评价（二）数学试题

2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二数学学科 主命题人 韩艳伟 一、单选题（每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 若，则直线，一定相交 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________． 13. 已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是______________. 14. 如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体S的体积： （ⅱ）若集合.记集合N中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二数学学科 主命题人 韩艳伟 一、单选题（每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解. 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 3. 已知圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以，解得. 故选：B. 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 5. 已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】算得，结合向量夹角的坐标公式即可求解. 【详解】， 所以直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 7. 若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故选：C 8. 边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详解】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设， 则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 若，则直线，一定相交 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A选项；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B选项；连接、、，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C选项；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D选项. 【详解】以为坐标原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    ，，，，，，； 对于A选项，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B选项，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解； 所以不存在点满足题意，B错误；    对于C选项，连接、、，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D选项，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 13. 已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【详解】可化为： 设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 14. 如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可. 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）或或 （2）24， 【解析】 【分析】（1）求出直线过原点和直线不过原点两种情况讨论求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 直线，即， 令，即，即. 若直线过原点，且过点， 所以直线的方程为，即. 若直线不过原点，可设直线方程为， 因为点在直线上，所以， 若，则， 所以直线的方程为， 若，则， 所以直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在，且， 设直线， 令，则；令，则， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 所以直线. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体S的体积： （ⅱ）若集合.记集合N中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）（i）16，（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图象，得到其二面角为钝角； 【小问1详解】 由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由题可知平面的法向量为，且过点， 因为,所以，所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系，分别画平面， 然后得到几何体为 几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为； （ii）由（i）可知的图象是一个完全对称的图像， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得， 画出第一卦限图象， 显然其二面角为钝角，计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $