河南省郑州外国语中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024- -2025学年上期九年级期中考试数学试题 考试范围：九年级上册 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列 关 于x 的方程中，是一元二次方程的为( ) A. B.x²-xy=0 C.x²+2x=1 D.ax²+bx=0(a、b为常数) 2.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图 （ ） 3. 已知线段a 、b 、c, 作线段x, 使 b:a=x:c, 则正确的作法是( ) 1 学科网（北京）股份有限公司 A B C D 4.将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中(每个小球上仅 标一个汉字),这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，放回 后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是( ) A. B. C. D 5. 若把方程x²-4x-1=0 化为(x+m)²=n 的形式，则n的值是( ) A.5 B.2 C.-2 D.-5 6. 如图，已知矩形 ABCD中 ，E 为 BC 边上一 点，DF⊥AE 于点F, 且 AB=6,AD=12, AE=10, 则 DF的长为( ) A.5 B. C. D.8 数学试卷第1页(共6页) 7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m,宽 为22m. 停车场内车道的 宽都相等，若停车位的占地面积为520m².求车道的宽度(单位：m). 设停车场内车道 的宽度为xm, 根据题意所列方程为（ ) A.(40-2x)(22-x)=520 B.(40-x)(22-x)=520 C.(40-x)(22-2x)=520 D.(40x)(22+x)=520 8.下列给出的条件不能得出△ABD O△ACB的是( ) A. B.∠ADB=∠ACB C.AB2=AD.AC D.∠ADB=∠ABC 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O 为位似中心的 位似图形，且相似比 , 点A 、B 、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点D 的坐标为( ) A. B. C. D. 图一 图二 第9题 第10题 10.如图(1).正方形ABCD 的对角线相交于点O. 点 P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM,过 点O 作OM的亚线交CD 于点N, 点 M从点B 出发匀速 运动到点C, 设BM=x.PN=y.y 随 x 变化的图象如图(2)所示，图中m 的值为( ) A. B.1 C. D.2 数学试卷第2页(共6页) 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11.已 知x=1 是关于x 的一元二次方程x+kx-6=0 的一个根，则k 的值为 12.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料(如 图①),使AB=CD、EF=GH:然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一 个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4),说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： 13.如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB=46°, 对角线AC,BD 于点O，DH⊥AB于H, 连接OH, 则∠DHO= 度. 数学试 14.如图，在平行四边形ABCD 中 ，E 是线段AB上一点，连接AC,DE,A C 与 DE 相交于点F,若 则 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AD=2,AB=2, 点P是AB的中点，点Q 是BC 边上的一个动点，将△PBQ 沿PQ 所在直线翻折，得到△PE Q,连 接DE,CE, 则当 △DEC是以DE为腰的等腰三角形时，BQ的长是 三、解答题(共8小题，共75分) 16. (8分)解方程： (1)x²-6x+3=0; (2)3x²-2x-1=0. 数学试卷第3页(共6页) 17. (8分)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某 学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中， 不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近 (精确到0.1); (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸 出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率. 18. (9分)一张矩形纸ABCD, 将 点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕 CE 交 AB 于点E. 将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于 点F, 折叠出四边形 AECF. (1)求证；AF//CE; (2)当∠BAC= _度时，四边形AECF是菱形. 数学试卷第4页(共6页) 19 . (9分)已知关于x 的一元二次方程x²-ax+a-1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根x1、x₂ 满足| x1-x₂|=3, 求a 的值； 20 . (8分)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场 以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500 个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个.若商场计划一周的利润达到 8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱? 21. (11分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求：①根据给出的△ABC 及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A), 以 线 段A'B'为一边， 在给出的图形上用尺规作出△AB'C, 使得△A'B'C'心△ABC, 不写作法，保留作图 痕迹； ② 在已有的图形上画出一组对应中线(不用尺规作图),并据此写出已知、求证和证 明过程. 数学试卷第5页(共6页) 22. (10分)一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到 点D 处，恰好在平面镜 中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m ( 即FC=4m) 放 在F 处 . 从 点 F 处向后退1.8m 到 点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得 的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m, 已 知 点B,C,D,F,H 在同一水平线上，且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH. (平面镜的大小忽略不计) 方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m, 测 得DE=2m,CE= 2.5m. 方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE与点M 在同一直线上，已知 两条边CE=0.4m,EF=0.2m,测得边CE 离地面距离DC=0.3m. 三种方案中，方案 不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度. 23 . (12分)在△ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=α,点 D 为线段CA 延长线上一动点，连接 DB, 将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为α,得到线段DE, 连 接 BE,CE. (1)如图1,当α=60°时， 的值是 ;∠DCE的度数为 ; (2)如图2,当α=90°时，请写出 的值和∠DCE 的度数，并就图2的情形说明 理由； (3)如图3,当α=120°时，若AB=8,BD=7,请直接写出点E 到 CD 的距离. 数学试卷第6页(共6页) 参考答案 1--10 DCBDCBACB 11.5 12.矩形 有一个角是90度的平行四边形是矩形 13.23度 14.5/2 15.1或 16.x1=3+ x2=3- 17. （1）0.25 （2） 略 18.(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形， ∴AD//BC,∴∠DAC=∠BCA. 由翻折知， , ∠BCE = ∴∠HAF=∠MCE,∴AF//CE. (2)【解】当∠BAC=30° 时，四边形 A ECF 为菱形.理 由如下： ∵四边形AB CD是矩形，∴∠D=∠BAD=90°,AB// CD,由(1)得AF//CE, ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵当四边形AECF 是菱形时，CF=AF, ∴∠FCA=∠FAC.∵FC//AE, ∴∠FCA=∠CAB. 又∵∠DAF=∠FAC,∴∠DAF=∠FAC=∠CAB. ∵∠DAB=90°,∴∠BAC=30° . (2)30度 19.(1)证明：∵△=(-a)²-4(a- 1)=a²-4a+4=(a-2)²≥0, ∴该方程总有两个实数根； …………… (2)解：由根与系数的关系得x₁+x₂=a,x₁x₂= a-1, ∵Ix₁-x₂I=√(x₁-x₂)² =√a²-4(a-1) =√(a-2)²=3, ∴a-2=3 或 a-2=-3, 解得a=5 或 a=-1. 20.(1)设售价应定为x元， 由题意可得： c²-100x+2400=0, 解得：x₁=40,X₂=60, 更大优惠让利消费者， ∴x=40, 答：售价应定为40元； (2)设这两周的平均增长率为y, 由题意： 解得：y₁=0.1=10%, y2=-2.1 (不合题意舍去), 答：这两周的平均增长率为10%. 21.(1)如图所示，△ A'B'C '即为所求； (2)已知，如图，△ABC∽△A'B'C', D 是AB 的中 点 ，D '是A'B '的中点， 求证： 证明：∵ ·D 是AB 的 中 点 ，D '是A'B '的中点， △ABC∽△A'B'C', △A'C'D'△ACD, 22. 方案二、三不可行 选方案一， ∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, ∴△ABC∽△EDC, 设BC=xm, 则AB=1.5xm, 同理可得△ABF∽△GHF, ·AB=1.5cm, BF=BC+CF=(4+x)m,GH=1.5m ,FH=1.5m, 解得：x=8, ∴AB=1.5x=12(m). 23.∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC, 同理可得：△BDE 是等边三角形， ∴∠BDE=60°,BD=BE, ∴∠BDE=∠ABC, ∴∠BDA=∠EBC, ∴△ABD≌△CBE(SAS), ∴AD=CE, ∠BCE=∠BAD=180°—∠BAC=120°, ∠DCE=∠BCE 一∠ACB=60°, 故答案为：1,60; (2))∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ACB=∠ABC=45°, 同理可得：∠BDE=40°, ∴∠BDA=∠EBC, ∴△ABD∽△CBE, ∠BCE=∠BAD=180°-∠BAC=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠ACB=45°; (3)如图1, 图1 作BF⊥CD 于F, 作EG⊥CD 于G, 作 DHLCE, 交CE 的延长线于H, 在Rt△AEF 中，AB=8, ∠EAF=180°—∠BAC=60°, ∴AF=8·cos 60°=4, BF=8 sin 60°=4√3, 在Rt△BDF 中 ，BD=7,BF=4√3, ∵DF=√ 7²-(4√3)²=1, ∴AD=AF 一DF=3, ∴CD=AD+AC=11, 同理(2)可得： ∠BCE=∠BAD=60°, ∴CE=√3AD=3√3, ∠DCE=∠BCE—∠ACB=30°, 在Rt△CDH 中，CD=11,∠DCE=30°, 如图2, 图2 由上知：DF=1, AF=4, ∴CD=13,AD=5, CE=√3AD=5√3, 综上所述：点E 到CD 的距离为： $$