精品解析：吉林省松原市宁江区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

宁江区2024—2025学年度上学期期中教学质量检测 八年级数学试题 数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 如图，，点A、B、C、D在同一条直线上，，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 9. 如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：__________，使． 10. 如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是____________． 11. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 12. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 13. 如图，在中，，平分，F为上一点，且．若，则的度数是__________ 14. 如图，等边△ABC的边长为3cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 若一个边形的内角和的比它的外角和少，求的值． 16. 如图，点C在线段上，在和中，． 求证：． 17. 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 18. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 20. 如图，，，垂足分别为D，C，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． （3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 24. 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）求证：BE=AD （2）求证：PQ=BP 六、解答题（每题10分，共20分） 25. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 26. 如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． （1）点B的坐标为________； （2）如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁江区2024—2025学年度上学期期中教学质量检测 八年级数学试题 数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意， B．是轴对称图形，符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围． 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得∶ 第三根木棒的长度应大于，而小于． 故选：B． 3. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件和三角形的内角和定理，可分别求出三角的度数，即可判断． 【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：6， ∴设：∠A=x，∠B=2x，∠C=6x， ∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+6x=180°， 解得x=20°， 则最大角为∠C=120°， ∴则此三角形是钝角三角形， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 4. 如图，，点A、B、C、D在同一条直线上，，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，由角平分线的性质定理得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 【答案】（﹣3，2）． 【解析】 【详解】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）， 所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）． 故答案为（﹣3，2）． 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 9. 如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：__________，使． 【答案】(合理即可） 【解析】 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【详解】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 10. 如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是____________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性及其应用，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，几何原理是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 11. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 13. 如图，在中，，平分，F为上一点，且．若，则的度数是__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边对等角得到，再由三线合一定理得到，则由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质和三线合一定理，熟知等边对等角是解题的关键． 14. 如图，等边△ABC的边长为3cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长． 【详解】将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，∴AD=A′D，AE=A′E． 则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题的关键是找出经轴对称变换所得的等量关系． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 若一个边形的内角和的比它的外角和少，求的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的外角和是，可以推出这个多边形的内角和，再根据内角和为，从而解得答案． 【详解】解：一个边形的内角和的比它的外角和少 故答案为：11． 16. 如图，点C在线段上，在和中，． 求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 17. 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据作图方法可知，则，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴． 18. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 【答案】石凳M到石凳F的距离为12米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明，得出． 【详解】解：， 又点M为中点， ， 在和中， ， ， 米， 答：石凳M到石凳F的距离为12米． 20. 如图，，，垂足分别为D，C，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ，则， ， ， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质． （1）根据垂直的定义得到，根据得到，利用即可证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）由等腰直角三角形的性质得出，由三角形外角的性质得出答案． 解此题的关键是推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 的度数为． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质证明即可； （2）先根据等边对等角得到，再由三角形外角的性质求出即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积． （3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合． 【答案】（1） 如图①所示，线段即为所求； （2） 如图②所示，线段即为所求； （3） 如图③所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了利用网格作图，三角形的高线、中线及性质，三角形的面积，全等三角形的判定． （1）根据三角形高的定义作出图形； （2）找到的中点，连接即为的中线； （3）取格点F，再连接、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） 全等，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， 在和中， , （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明≌； （2）由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； ， ，， 、分别为和， ∴ 妈妈在距地面高的处，即， ∴， 答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 24. 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）求证：BE=AD （2）求证：PQ=BP 【答案】(1)∵△ABC为等边三角形 ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 在△BAE和△ACD中 ∴△BAE≌ACD（SAS）， ∴BE=AD； （2）∵△BAE≌△ACD， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD． ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=BP． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根据SAS可证△BAE≌ACD，根据全等三角形的性质可证BE=AD； （2）根据全等三角形对应角相等可证∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质可证∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质可证PQ=BP． 【详解】略 六、解答题（每题10分，共20分） 25. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）B； （2）C； （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点F， 在和中， ， ∵是的平分线， . 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出答案； （3），延长，交于点F，证明推出 再证明即可解决问题； 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． （3）略 26. 如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． （1）点B的坐标为________； （2）如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【答案】（1） （2）①t的值为或2；② 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可得出答案； （2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可； ②分两种情况：当点P在边上时，当点P在边的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， ①分两种情况：当时，如图所示： ∵， ∴， ， 即， 解得：； 当时，如图所示： ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：当是直角三角形时，求t的为或2； ②当点P在边上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当点P在边的延长线上时，如图所示： ∵， ∴当是等腰三角形时，一定是顶角， ∴， ∴， 解得：， ∵点Q在上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 综上分析可知，当是等腰三角形时，的度数是． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $