4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用专项训练——2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．函数y＝2cos的部分图象大致是( ) 2．为了得到函数g(x)＝sin x的图象，需将函数f(x)＝sin的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是( ) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x 4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( ) A．－ B． C．1 D． 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<π，ω>0)的部分图象如图所示，则( ) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 6．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的是( ) A．f(x)的图象关于点对称 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上的值域为[－1,1] D．将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称 7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的函数g(x)的图象关于原点对称，则m的值可能为( ) A． B． C．π D． 8．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调递增区间为( ) A． B． C． D． 二、多选题 9．把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值可能为( ) A． B． C． D． 10．已知函数f(x)＝sin 3x＋cos 3x－2，则( ) A．f(x)的最小正周期为6π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)在上单调递增 11．将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( ) A．最大值为，图象关于直线x＝－对称 B．图象关于y轴对称 C．最小正周期为π D．图象关于点成中心对称 三、填空题 12．(1)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向 　 　平移 　 　个单位长度． (2)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向 　 　平移 　 　个单位长度． 13．以函数y＝sin ωx(ω>0)的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则ω＝ 　 　 　 　. 14．已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 　 　. 15．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x向左平移个单位长度后，所得图象在区间(0，m)上单调递增，则m的最大值为 　 　. 四、解答题 16．某同学用“描点法”画函数f(x)＝2sin＋1在区间上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 2x－ － －π 0 x － － f(x) ＋1 1 ＋1 (1)请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f(x)在区间上的图象； (2)利用函数的图象，直接写出函数f(x)在x∈R上的单调递增区间； (3)将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值． 17．已知函数f(x)＝sin＋cos－2sin xcos x. (1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在[0,2π]上的单调递减区间． 【B级　能力提升】 1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于( ) A． B． C． D． 2．记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝( ) A．1 B． C． D．3 3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，现将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，则以下说法正确的是( ) A．函数g(x)的初相是 B．函数g(x)的最大值是2 C．函数g(x)在上单调递增 D．函数g(x)的图象是由函数h(x)＝sin x向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到的 4．(多选题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0，x∈R)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是( ) A．函数g(x)是偶函数 B．g(x)的图象关于点对称 C．g(x)在上是增函数 D．当x∈时，函数g(x)的值域是[1,2] 5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)满足f(2x)＝f，且f(0)＝－1，则ω的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Acos(ωx＋φ) 2 0 0 2 (1)请根据上表数据，求函数f(x)的解析式； (2)关于x的方程f(x)＝t在区间上有解，求t的取值范围； (3)求满足不等式·>0的最小正整数解． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( A )[解析]　由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点(0，)，故排除C．故选A． 2．( D )[解析]　f(x)＝sin＝－sin＝sin＝sin，由f(x)＝sin的图象得到函数g(x)＝sin x的图象，向右平移个单位长度即可．故选D． 3．( A )[解析]　将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin x的图象． 4．( D )[解析]　由题意可知该函数的周期为， ∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ∴f＝tan ＝. 5．( A )[解析]　根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象．可得A＝2，T＝·＝－，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)． 又函数图象过点，∴2sin＝2，∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.∵|φ|<π，∴φ＝－，∴函数的解析式为y＝2sin. 6．( C )[解析]　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω>0)，∵函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴函数的最小正周期是×2＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，f(x)＝sin，∵f＝sin＝sin(－π)＝0，∴f(x)关于对称，故A正确；由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的一个单调增区间为，而⊆，∴f(x)在上单调递增，故B正确；当0≤x≤时，有0≤2x≤π，则－≤2x－≤π，所以－≤sin≤1，∴f(x)∈[－1，]，故C错误；将f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝sin＝sin＝－cos 2x关于y轴对称，故D正确．故选C． 7．( B )[解析]　利用图象求出函数f(x)的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数g(x)的解析式，利用函数g(x)的对称性可求得m的表达式，即可得出结果．由图可得A＝3，函数f(x)的最小正周期为T＝4＝6π，则ω＝＝，因为f(0)＝3sin φ＝，可得sin φ＝，因为－<φ<且函数f(x)在x＝0附近单调递增，故φ＝，所以f(x)＝3sin，将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，可得到函数g(x)的图象，则g(x)＝3sin＝3sin，因为函数g(x)的图象关于原点对称，则－＝kπ(k∈Z)，解得m＝－3kπ(k∈Z)，当k＝0时，m＝，故选B． 8．( A )[解析]　根据已知得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2＝2sin.根据相邻两条对称轴之间的距离是，得T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以函数f(x)＝2sin.再根据正弦函数的单调性可得该函数的单调递增区间是2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．令k＝0即可求得其一个单调递增区间是.故选A． 二、多选题 9．( AD )[解析]　由题意，得g(x)＝sin＝sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝. 10．( BC )[解析]　利用辅助角公式化简f(x)，再根据正弦函数的图象和性质判断即可．由题意f(x)＝sin 3x＋cos 3x－2＝2－2＝2sin－2，所以f(x)的最小正周期T＝，A错误；当x＝时sin＝sin ＝1，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；当x＝时sin＝sin π＝0，所以f(x)的图象关于点对称，C正确；当x∈时，3x＋∈，所以f(x)在上不具有单调性，D错误，故选BC． 11．( BCD )[解析]　将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度， 得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x的图象． 对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确； 它的最小正周期为＝π，故C正确； 当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确． 三、填空题 12．(1) 左　 1　． (2) 左　 　． [解析]　y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左或向右平移|φ|个单位长度而得到的，φ只对自变量x而言． 13．[解析]　作出函数y＝sin ωx(ω>0)的大致图象，先由正弦函数的性质得AB＝T，CD＝2，再由正三角形的性质推得T＝，从而利用三角函数的周期公式即可得解．作出函数y＝sin ωx(ω>0)的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点，设其中两个最大值点为A，B，最小值点为C，过C作CD⊥AB交AB于D，如图， 根据正弦函数y＝sin ωx(ω>0)的性质可知AB＝T，CD＝2，因为△ABC是正三角形，所以CD＝ACsin ＝ABsin ＝T，故T＝2，则T＝，又ω>0，则T＝＝，故＝，所以ω＝π. 14．[解析]　函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx＝1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根，∴0≤x≤2π，∴0≤ωx≤2πω，∴4π≤2πω<6π，即2≤ω<3，∴ω的取值范围为[2,3)． 15．[解析]　f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，向左平移个单位长度，得g(x)＝2sin＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，所以mmax＝. 四、解答题 16．[解析]　(1)因为f(x)＝2sin＋1，所以数据补全如下表： 2x－ － －π － 0 x － － － f(x) ＋1 1 －1 1 3 ＋1 故f(x)在区间上的图象如下图所示： (2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)在x∈R上的单调递增区间为，k∈Z. (3)f(x)＝2sin＋1向左平移θ(θ>0)个单位得到g(x)＝2sin＋1， ∵g(x)的一个对称中心， ∴2×π＋2θ－＝kπ，k∈Z，∴θ＝－，k∈Z， 又∵θ>0， ∴θ的最小值为. 17．[解析]　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x－sin 2x， f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2 ＝2＝2cos， 所以函数f(x)的最小正周期为π， 令2x＋＝kπ，k∈Z，得函数f(x)的对称轴方程为x＝－＋，k∈Z. (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为 y＝2cos＝2cos， 所以g(x)＝2cos＝2cos， 令2kπ≤x＋≤π＋2kπ，所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[0,2π]， 所以y＝g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为，. 【B级　能力提升】 1．( C )[解析]　y＝sin 2x＝cos. 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后， 得到函数y＝cos ＝cos ＝cos， 由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)， 则φ＝＋kπ(k∈Z)， 又0≤φ<，所以φ＝.故选C． 2．( A )[解析]　因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2<ω<3，所以<ω＋<，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A． 3．( C )[解析]　由图象可知T＝－＝，故T＝，所以ω＝＝3， 因为为函数的一个对称中心，且在附近函数值由负变正， 所以0＝Asin，即3×＋φ＝2kπ(k∈Z) 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以取k＝1，φ＝， 因为函数图象过点，所以－1＝Asin＝－Acos ， 解得A＝，所以f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin， 故函数g(x)的初相位为－，最大值为，故A、B错误； 当x∈时，3x－∈， 由于函数y＝sin x在上单调递增， 所以函数g(x)在上单调递增，故C正确； h(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，横坐标扩大到原来的3倍得到y＝sin，显然不满足，故D错误．故选C． 4．( BD )[解析]　因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin， 又y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列， 所以＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin， 所以f(x)向左平移个单位得到y＝2sin， y＝2sin横坐标伸长到原来2倍得到g(x)＝2sin， A．g(x)＝2sin为非奇非偶函数，故错误； B．g＝2sin＝2sin 0＝0，所以g(x)的图象关于点对称，故正确； C．因为x∈，所以∈， 又因为y＝2sin t在上先增后减，所以g(x)在上不是增函数，故错误； D．当x∈时，∈， 所以g(x)max＝2sin ＝2，此时x＝；g(x)min＝2sin ＝1，此时x＝－， 所以g(x)的值域为[1,2]，故正确．故选BD． 5．( D )[解析]　在f(x)＝2sin(ωx＋φ)中，由于f(0)＝2sin φ＝－1，即sin φ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，由f(2x)＝f可知x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，所以ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋4，k∈Z，所以ω的最小值为4，故选D． 6．[解析]　(1)由表格数据知，A＝2，由解得 所以f(x)＝2cos. (2)当x∈时，2x－∈， 则cos∈， 所以f(x)＝2cos在上的值域为[－，2]， 因为方程f(x)＝t在区间上有解，所以t的取值范围为[－，2]． (3)因为f＝2cos＝2sin ＝1，f＝2cos＝2cos＝0， 所以不等式即：[f(x)－1]·f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1， 由f(x)<0得cos<0，所以＋2kπ<2x－<＋2kπ(k∈Z)， 所以x∈，k∈Z； 由f(x)>1得cos>，所以－＋2kπ<2x－<＋2kπ(k∈Z)， 所以x∈，k∈Z. 令k＝0可得不等式解集的一部分为∪，因此，解集中最小的正整数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$