4.4三角函数的图象与性质专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-4.4-三角函数的图象与性质-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．下列函数中最小正周期不是π的周期函数为( ) A．y＝sin|x| B．y＝|sin x| C．y＝cos|x| D．y＝|tan x| 2．函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为( ) A． B． C． D． 3．函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是定义在R上的偶函数，则φ的值是( ) A．0 B． C． D．π 4．函数f(x)＝sin的值域是( ) A．[－1,1] B． C． D． 5．设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 6．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是( ) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos D．y＝sin 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是( ) A．0 B． C．1 D． 8．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 二、多选题 9．已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的最小正周期为π 10．已知函数f(x)＝|sin x|，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．点(π，0)是f(x)图象的一个对称中心 C．π为f(x)的一个周期 D．f(x)在区间上单调递减 三、填空题 11．若y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则实数a的取值范围是 　 　 　. 12．函数f(x)＝sin的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 　 　 　. 13．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 　 　 　　. 14．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是 　 　 　，单调减区间是 　 　 　 　 　 　. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝2sin. (1)求函数的最大值及相应的x值集合； (2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心． 16．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数f(x)在上的单调性． 【B级　能力提升】 1．如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( ) A． B． C． D． 2．下列区间是函数f(x)＝3sin的单调递增区间的是( ) A． B． C． D． 3．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( ) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin |x| 4．已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( ) A．2 B．1 C．4 D． 5．(多选题)关于函数f(x)＝|sin x|＋sin|x|，下述四个结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间单调递减 C．f(x)在[－π，π]上有4个零点 D．f(x)的最大值为2 6．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ的值； (2)求y＝f(x)的单调递增区间； (3)当x∈，求f(x)的值域． 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值； (2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C )[解析]　直接利用函数的性质求出函数的周期，进一步求出结果．函数y＝sin|x|不是周期函数，函数y＝|sin x|为周期为π的函数，函数y＝cos|x|为周期为2π的函数，函数y＝|tan x|为周期为π的函数．故选C． 2．( C )[解析]　由cos x>0，解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为. 3．( C )[解析]　当φ＝0时，y＝sin(x＋φ)＝sin x为奇函数，不符合题意，因此排除A；当φ＝时，y＝sin(x＋φ)＝sin为非奇非偶函数，因此排除B；当φ＝时，y＝sin(x＋φ)＝cos x为偶函数，满足条件；当φ＝π时，y＝sin(x＋φ)＝－sin x为奇函数，故选C． 4．( B )[解析]　由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈.故选B． 5．( D )[解析]　由已知f(x)＝cos，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴单调递减区间为. 6．( C )[解析]　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上单调递减，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，C符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D．故选C． 7．( D )[解析]　由条件可知，f(x)的最小正周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan ＝. 8．( B )[解析]　∵函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω>0)的最小正周期为＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin. 令x＝，求得f(x)＝sin ≠0，且f(x)不是最值，故A、D错误； 令x＝，求得f(x)＝，为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确，C错误．故选B． 二、多选题 9．( AB )[解析]　f(x)＝sin x－cos x＝sin， 对于A，f(x)max＝，A正确； 对于B，当x∈时，x－∈， 自正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确； 对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误； 对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误． 10．( ACD )[解析]　方法一：由f＝＝|cos x|， f＝＝|cos x|， 即有f＝f， 所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确； 由f(π＋x)＋f(π－x)＝|sin(π＋x)|＋|sin(π－x)|＝|sin x|＋|sin x|＝2|sin x|≠0， 故f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误； 由f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 可得π为f(x)的一个周期，故C正确； 当x∈时，sin x<0，所以f(x)＝－sin x，此时f(x)在区间上单调递减，故D正确． 方法二：画出f(x)＝|sin x|的图象，如图， 由图知A，C，D正确，B错误． 三、填空题 11．[解析]　∵y＝cos x在区间[－π，0]上为增函数． ∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴－π<a≤0. 12．[解析]　函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f(x)的最小正周期，又函数f(x)＝sin的最小正周期为π，故f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 13．[解析]　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－. 14．[解析]　∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝(1－cos 2x)＋sin 2x＋1＝sin＋，∴最小正周期是π.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴单调减区间为，k∈Z. 四、解答题 15．[解析]　(1)当sin＝1时， 2x－＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2， 故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为. (2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 即函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z. 由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 即对称中心为，k∈Z. 16．[解析]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为. 【B级　能力提升】 1．( B )[解析]　由已知得，2×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝－1时|φ|最小为，故选B． 2．( C )[解析]　由题知，f(x)＝－3sin， 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 令k＝－1，有f(x)在上单调递增； 令k＝0，有f(x)在上单调递增； 令k＝1，有f(x)在上单调递增． 对于选项所给的区间，只有在区间内，其余的都不在f(x)的任何一个单调递增区间内．故选C． 3．( A )[解析]　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A． 4．( B )[解析]　对任意的x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立， 所以f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2， 所以|x1－x2|min＝， 又f(x)＝2sin(πx＋1)的周期T＝＝2， 所以|x1－x2|min＝1，故选B． 5．( ABD )[解析]　对于A，由f(－x)＝|sin(－x)|＋sin|－x|＝|sin x|＋sin|x|＝f(x)可得f(x)为偶函数，故A正确； 对于B，当x∈时，f(x)＝|sin x|＋sin|x|＝－sin x－sin x＝－2sin x，所以f(x)在区间单调递减，故B正确； 对于C，当x∈[0，π]时，f(x)＝|sin x|＋sin|x|＝sin x＋sin x＝2sin x，当x＝0或x＝π时，f(x)＝0，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)在[－π，π]上有3个零点：－π，0，π，故C错误； 对于D，由|sin x|≤1，sin|x|≤1可得f(x)＝|sin x|＋sin|x|≤2，因为f＝＋sin＝2，所以f(x)的最大值为2，故D正确． 6．[解析]　(1)由题意，函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)． y＝f(x)的一条对称轴是直线x＝， 则2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 结合－π<φ<0可得φ＝－. (2)由(1)可得f(x)＝sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (3)因为x∈，所以2x－∈， 所以－1≤sin<－， 故f(x)的值域为. 7．[解析]　由f(x)的最小正周期为π，得T＝＝π， 所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ(k∈Z)． 因为0<φ<，所以φ＝， (2)因为f＝， 所以sin＝， 即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)． 又因为0<φ<，所以φ＝， 即f(x)＝sin. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $$