广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广州市玉岩中学2024学年第一学期期中测试 高二数学 命题人：向良辉 审校人：朱幸芳 说明：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷。第I卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92 分，全卷共150分。考试时间为120分钟 第1卷（选择题） 注意事项： 1.答第】卷前，考生务必用2B铅笔将姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上规定 位置涂黑自己的试卷类型、考试证号和考试科目。 2.每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号。如需改动，用檬皮擦干净后，再选 涂其他答案。（答案写在试题卷上无效） 求：单选翘：本鹅共8小翘，每小您5分，共0分。在每小愿给出的选项中，只有一项符合题自要 1.已知a=(2.-l3),6=(4,2,x),且a16,则x=() A.2 B.3 C.5 2直线+2=5 x43)的倾斜角及在y轴上的截距分别是() 3.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现 从盒子中一次性随机摸取两金球，则这两球不同色的概率为) A号 B D 4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C,=“点数为i”,其中1,2,3,4,5,6，D=“点 数不大于2”，D2=“点数大于2”，D=“点数大于4”，下列结论判断错误的是() A.C与C,互斥 B.DUD,=Q,DD,= C.DSD D.C,C为对立率件 5.空间内0，A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,则△OAB的面积等于() A.-(a.5) B.ylaflop+(a-b) (a) D.( 6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水而2米时，水面宽12米，则当水面下 降1米后，水面宽为() A.9米 B.√51米 C.219米 D.25米 12 第1页，共4页 7.已知棱长为2的正方体ABCD-ABCD内有-一内切球O,点P在球0的表面上运动，则P·PC的取值 范周为() A.-2,2] B.[0,2] c.[-2,4 D.[0,4 8.设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=x(x20)向直线1射出，经1反射后 与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N,若-，则k的值为) 6 A.3 D.2 B c 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分，有选错的得0分。 9.从1~20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能 被3整除，则对下列事件概率描述正确的是() AP④- B.P() CP代4U的易 D.Pan动 10.1765年，数学家歌拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在 同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知aABC的顶点B(-1,0),C(0,2),重心 d传 则下列说法正确的是（〕 比这二6 02 A点在的坐标为 B.AABC为等边三角形 C.欧拉线方程为2x+4y-3=0 D.AAC外接圆的方程为 （盟 11.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=AM=2,∠DAB=∠AAB=∠4AD=60,若 A0=mAB+nAD+pMA,其中m,,p∈0，小，则下列结论正确的为() A若点2在平面4@CA内，则p-号 B.若CO L DB,则m=n C.当p=时，三棱锥Q-ABD的体积为92 D.当m+n=1时，CQ长度的最小值为√2 2 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,有甲、乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为}乙生产出正品且甲生产 出次品的概率为。每台机床生产出正品的概率均大于)则甲、乙同时生产这种零件，至少有一台生产出 正品的概率是 13.设m∈R,已知直线(：(m+2)x+2my+2-m=0,过点(3,4)作直线，且，∥，则直线，与1，之间距离的最 大值是」 第2页，共4页 14,已知直三棱柱ABC-4B,C,AB⊥4C,AB=AC=A4=2,E为侧棱A的中点，过E作平面a与 平面BCE垂直，当平面：与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点4与该载面构成的三棱锥体积的最 小值为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6 元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算]）现有甲、乙两人在该地停车，两人停 车都不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为}，停车费多于14元的概率为。，求甲的停车费为6 元的概率； (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率， 16.(本小题5分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成 果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点Q与 两定点A,B的距离之比为(1>0，元≠1)，那么点Q的轨迹就是阿波罗尼斯圆，基于上述事实，完成以 下两个问题： ①已知42,3，B0,-3),若DA=2,求点D的轨迹方程； IDBI (2)已知点P在圆(x-5)+y2=9上运动，点M(-4,0),探究：是否存在定点N,使得1PM上3引PW恒成 立，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由， 17.(本小题15分) 如图所示，三棱柱ABC-4BC,中，=a,C2=b,CC=,CA=CB=CC,=l, <a6aE号<6i号N是4B中点 2 M ①)用a,6,c表示向量AN: (2)在线段CB上是否存在点M,使AM上AN?若存在，求出M的位置， 若不存在，说明理由， C 第3页，共4页 18.(本小题17分) 如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BMD=交，F为PA的中点， PD-2,AB=AD=CD=1,四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N. )求证：AC/平面DEF (2)求二面角A-PB-C的正弦值： (3)在线段EF上是否存在一点2，使得BQ与平面BCP所成角的大小为E?若存在，求出FQ的长： 6 若不存在，请说明理由。 --728 19.(本小题17分) 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程F(x,少，z)=0之间满 足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F(x,以，z)=0的解：②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解 (,乃)为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F(x,y)=0,方程F(x,为)=0的曲面为S 已知空间中某单叶双曲面C的方程为女+之号-1，双曲面C可视为平面x0z中某双曲线的一支绕z 114 轴旋转一周所得的旋转面，己知直线1过C上一点QL,1,2),且以a=（-2,0,-4)为方向向量. (①)指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线1在曲面C上： (3)若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上设直线r在曲面C上，且过点 T(互，0,2)，求异面直线1与r所成角的余弦值 第4页，共4页