浙东北联盟（ZDB）2024-2025学年高一上学期期中联考（AP班）数学试题

浙东北联盟（ZDB）2024/2025学年第一学期期中联考 高一年级数学学科（AP班）试题 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ） A. 1cm B. 2cm C. D. 2. 若两个单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）． A. B. C. D. 4. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 水平放置的正四棱柱（底面边长为a）形容器内放入两个大小不等的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面的高度为a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（ ） A. a B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则 C. 若是与垂直的单位向量，则 D. 当取得最大值时， 10. 在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则满足条件的有两个 C. 若，则是钝角三角形 D. 存在，使得成立 11. 如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为 C. 当点M在棱上运动时，最小值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 非选择题部分 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 在中，，延长到D，使得，则的长度为_______． 13. 在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 14. 如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且． （1）求证：平面； （2）若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积． 17. 已知的内角的对边分别为，若． （1）求角C的大小； （2）若的面积为，求的最小值． 18. 如图，和都垂直于平面，是上一点，且，为等腰直角三角形，且是斜边的中点，与平面所成的角为. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点P是平面ADE内一点，且，设点P到平面ABE的距离为，求的最小值. 19. 在中，角所对的边分别是，． （1）求角B的大小； （2）若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； （3）若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 浙东北联盟（ZDB）2024/2025学年第一学期期中联考 高一年级数学学科（AP班）试题 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BCD 非选择题部分 三、填空题：每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【16题答案】 【答案】（1） 连接，与交于点， 分别是的中点，所以点是的中点， 即是三角形的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）平面，与平面所成的角为，， ，，在等腰中，， 又，，，，， ，即，即， 平面，平面，， ，，平面，平面， 平面， 平面，， ，平面. （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心； 证明：由题意可知 则 因为为外心，所以 则，即 同理可得： 所以，点为的垂心得证， 因此由于为的垂心，为的外心， 故，其中， 设外接圆半径为，则, , 由于， 故由于，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $