北京市第四十四中学2024～2025学年上学期九年级期中数学试卷

第 1 页 共 6 页 北京市第四十四中学 2024—2025学年度第一学期期中练习 初三数学 一、选择题（本题共 8小题，每小题 2分，共 16分） 1. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2. 抛物线   12 2  xy 的顶点坐标是 （ ） A. (2，1) B. (-2，1) C. (-2，-1) D. (1，2) 3. 将抛物线 向左平移 1个单位，再向上平移 3个单位得到的表达式是（ ）． A． B． C． D． 4. 已知 1x 是方程 022  axx 的一个根，则方程的另一个根为（ ） A． 2 B． 2 C．3 D． 3 5. 如图所示， ABC 内接于⊙O，若 28OAB  ，则 C 的大小是（ ） A．56 B．62 C． 28 D．32 第 5题图 第 6题图 第 7题图 6. 如图，抛物线 与 x轴交于点 ，对称轴为 ，则下列结论中 正确的是（ ） A． B．当 时，y随 x的增大而增大 C． D． 是一元二次方程 的一个根 7. 如图，正方形 ABCD和⊙O的周长之和为 20 cm，设圆的半径为 x cm，正方形的 边长为 y cm，阴影部分的面积为 S cm2．当 x在一定范围内变化时， y和 S都随 x的变化而变化，则 y与 x， S与 x满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 第 2 页 共 6 页 8. 如图，等边三角形 ABC的边长为 2，点 A，B在⊙O上，点 C在⊙O内，⊙O的 半径为 2．将△ABC绕点 A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点 C第一次落在⊙O上时，旋转角为 30°； ②当 AC第一次与⊙O相切时，旋转角为 60°． 则结论正确的是 A．① B．② C．①② D．均不正确 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分） 9. 点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____． 10. 将二次函数 862  xxy 配方化成   khxay  2 的形式为 y= . 11. 已知 m是方程 2 3 5 0x x   的一个根，则代数式    21 4m m m   = ． 12. 点 A(-3，y1)，B(2，y2)在抛物线 上，则 y1 y2．（填“>”，“<”或“=”）. 13. 关于 x的一元二次方程 2 1 0 4 ax bx   有两个相等的实数根，写出一组满足条件 的实数a，b的值：a  ，b  ． 14. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点 A，B，点 C为劣弧 »AB上的点，过点 C的 切线分别交 PA，PB于点 M，N．若 PA =8，则△PMN的周长为 ． 15. 如图, 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分, 有下面四个结论：① ac<0；② b>2a；③9a－3b+c<0；④关于 x的方程 ax2＋bx＋c=x+1(a≠0)必有两 个异号实根. 其中所有正确结论的序号是____________. 第 14题图 第 15题图 第 16题图 16. 如图平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 2 1y x  在 x轴和 x轴下方的部分记作 C1，将 C1沿 x轴翻折记作 C2， C1和 C2构成的图形记作 G．关于图形 G，如图 所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形 G关于原点对称； ②图形 G关于直线 y=x对称； ③图形 G的面积为 S ，满足 2 S  ． 第 3 页 共 6 页 三、解答题：本大题共 68分（第 17题 6分；18-23题，每小题 5分；24-26题， 每小题 6分；27-28题，每小题 7分） 17. 解下列方程：（1） 2 6 16 0x x   ； （2）  2 5 4 10x x x   ． 18. 已知二次函数 2 0y ax bx c a   （ ）图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值 如下表所示： （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）直接写出当 y>0时，x的取值范围． 19. 已知关于 x的一元二次方程 2 1 0x mx m    ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为 3，求 m的值． 20. 如图，在边长均为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B，O均为格 点(每个小正方形的顶点叫做格点)． （1）作点 A关于点 O的对称点 A1； （2）连接 A1B，将线段 A1B绕点 A1顺时针旋转 90°得到线段 A1B1，点 B的对应点为 B1，画出旋转后的线段 A1B1； （3）连接 AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）． 21. 下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程． 已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点 A． 求作：过 A点的⊙O的一条切线． 作法：①连接 AO交⊙O于点 D，并延长 AO交⊙O于点 E； ②以点 A为圆心，AO的长为半径画弧，以点 O为圆心，DE的长为半 径画弧，两弧交于点 B； 第 4 页 共 6 页 ③连接 OB交⊙O于点 C，作直线 AC． 则直线 AC是⊙O的一条切线． 请你根据小明同学的设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成证明： ∵ OB=DE=2OD=2OC， ∴ 点 C为 OB的中点． ∵ AO=AB， ∴ AC⊥OB（ ）（填推理的依据）． 又∵ OC是⊙O的半径， ∴ AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）． 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD AB 于点 E， 2CD OE ，若 4AB  ，求CD 的长. 23. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是 BC边上任意一点（不与 B， C重合），将线段 AD绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 CE，DE. （1）求∠ECD的度数； （2）若 AB=4，BD= 2，求 DE的长. 第 5 页 共 6 页 24. 如图，已知 AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，且点C是DB的中点，过点 C作CE 直线 AD于点E． （1）求证：直线CE是⊙O的切线； （2）连接 AC，过点O作OF AC 于 F，延长 FO交⊙O 于M ，若 B为CM 的中点，半径为 4，求OF的长. 25. 如图 1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图 2是灌溉车浇水操作时的截面图．现 将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系 xOy中两条抛物线 的部分图象．已知喷水口 H离地竖直高度 OH为 1.2m，草坪水平宽度 DE＝3m， 竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点 A离喷水口的水平距离为 2m，高出喷 水口 0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m得到，灌溉车到草坪 的距离 OD为 d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC的长； （2）下边缘抛物线落地点 B的坐标为 ； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪， d的取值范围为 ． 26. 在平面直角坐标系 xOy中，点 M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线 y＝ax2+bx+1 （a＜0）上，其中 x1＜x2，设抛物线的对称轴为 x＝t． （1）当 t＝1时，如果 y1＝y2＝1，直接写出 x1，x2的值； （2）当 x1＝－1，x2＝3时，总有 y2＜y1＜1，求 t的取值范围． 第 6 页 共 6 页 27. 如图，在Rt ACB△ 中， 90ACB  °， 60BAC  °．D是边 BA上一点（不与点 B 重合且 1 2 BD BA ），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE． (1)求 CAE 的度数； (2) F是DE的中点，连接 AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图 形．若 G ACE  ，用等式表示线段 FG，AF，AE之间的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系 xOy中，⊙O的半径为 1，对于线段 AB和 x轴上的点 P，给 出如下定义：将线段 AB绕点 P旋转 180°可以得到⊙O的弦 A'B' （ A' ， B'分 别为 A， B的对应点），则称线段 AB为⊙O以点 P为中心的“关联线段”． （1）如图，已知点 A（-2，-1），B（-2，0），C（-2，１），D（-1，1），在线 段 AC，BD，CD中，⊙O以点 P为中心的“关联线段”是 ； （2）已知点 E（-4，1），线段 EF是⊙O以点 P为中心的“关联线段”，求点 F 的横坐标 Fx 的取值范围； （3）已知点 E（m，1），若直线 y=-x+2m上存在点 F，使得线段 EF是⊙O以点 P为中心的“关联线段”，直接写出 m的取值范围．